MediuMonotonie și convexitateClasa 11

Problemă rezolvată de Monotonie și convexitate

MediuMonotonie și convexitateAplicații ale derivatelorEcuații exponentiale
Fie funcția f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=e−x2f(x) = e^{-x^2}. Se cere: a) Să se studieze monotonia și convexitatea funcției ff. b) Să se determine, în funcție de parametrii reali aa și bb, numărul de soluții reale ale ecuației e−x2=ax+be^{-x^2} = ax + b.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Calculul derivatei întâi: f′(x)=−2xe−x2f'(x) = -2x e^{-x^2}. Studiul semnului: f′(x)>0f'(x) > 0 pentru x<0x < 0, deci ff strict crescătoare pe (−∞,0](-\infty, 0]; f′(x)<0f'(x) < 0 pentru x>0x > 0, deci strict descrescătoare pe [0,∞)[0, \infty). Punct critic în x=0x=0.
22 puncte
Calculul derivatei a doua: f′′(x)=(4x2−2)e−x2f''(x) = (4x^2 - 2)e^{-x^2}. Rezolvarea f′′(x)=0f''(x)=0: x=±12x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}. f′′(x)>0f''(x) > 0 pentru x<−12x < -\frac{1}{\sqrt{2}} sau x>12x > \frac{1}{\sqrt{2}}, deci ff convexă pe (−∞,−12](-\infty, -\frac{1}{\sqrt{2}}] și [12,∞)[\frac{1}{\sqrt{2}}, \infty); f′′(x)<0f''(x) < 0 pentru −12<x<12-\frac{1}{\sqrt{2}} < x < \frac{1}{\sqrt{2}}, deci concavă pe [−12,12][-\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}].
35 puncte
Pentru ecuația e−x2=ax+be^{-x^2} = ax + b, se consideră g(x)=e−x2−ax−bg(x)=e^{-x^2}-ax-b. Studiem numărul de rădăcini folosind proprietățile lui ff: ff este mărginită, pară, cu maxim în x=0x=0, f(0)=1f(0)=1, și lim⁡x→±∞f(x)=0\lim_{x\to \pm\infty} f(x)=0. Cazuri: dacă a=0a=0, ecuația devine e−x2=be^{-x^2}=b; dacă b≤0b \leq 0 sau b>1b > 1, nicio soluție; dacă 0<b<10 < b < 1, două soluții; dacă b=1b=1, o soluție (x=0x=0). Dacă a≠0a \neq 0, dreapta y=ax+by=ax+b: folosind monotonia și convexitatea, se analizează poziția dreptei față de graficul lui ff. De exemplu, pentru a>0a>0, dreapta este crescătoare și pot exista 0, 1 sau 2 soluții în funcție de bb; pentru a<0a<0, similar. Se detaliază condițiile de tangență și intersecție folosind derivatele.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Monotonie și convexitate

Ușor#1Monotonie și convexitateDerivate
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=−x(x−2)2y = -x(x - 2)^2.
Ușor#2Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=2x3+3x2−2y = 2x^3 + 3x^2 - 2.
Ușor#3Monotonie și convexitateDerivate
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y=23x3−x2−4x+5y = \frac{2}{3}x^3 - x^2 - 4x + 5.
Mediu#4Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y = x4−4x3−8x2+3x^4 - 4x^3 - 8x^2 + 3.
Vezi toate problemele de Monotonie și convexitate →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Monotonie și convexitate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.