MediuVectoriClasa 11

Problemă rezolvată de Vectori

MediuVectoriSisteme de Ecuații LiniareGeometrie Analitică
Se consideră vectorii a⃗=i⃗+2j⃗+3k⃗\vec{a} = \vec{i} + 2\vec{j} + 3\vec{k}, b⃗=xi⃗+yj⃗+zk⃗\vec{b} = x\vec{i} + y\vec{j} + z\vec{k}, c⃗=2i⃗+j⃗\vec{c} = 2\vec{i} + \vec{j}, și d⃗=j⃗+2k⃗\vec{d} = \vec{j} + 2\vec{k}. Să se determine x,y,zx, y, z astfel încât b⃗\vec{b} să fie o combinație liniară a lui a⃗\vec{a} și c⃗\vec{c}, iar vectorii b⃗\vec{b} și d⃗\vec{d} să fie ortogonali. Apoi, să se verifice dacă a⃗,b⃗,c⃗\vec{a}, \vec{b}, \vec{c} sunt liniar independenți.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Scrierea condițiilor: b⃗=αa⃗+βc⃗\vec{b} = \alpha \vec{a} + \beta \vec{c} pentru α,β∈R\alpha, \beta \in \mathbb{R} și b⃗⋅d⃗=0\vec{b} \cdot \vec{d} = 0.
24 puncte
Rezolvarea sistemului de ecuații obținut: {x=α+2βy=2α+βz=3α\begin{cases} x = \alpha + 2\beta \\ y = 2\alpha + \beta \\ z = 3\alpha \end{cases} și y+2z=0y + 2z = 0. Se determină α,β\alpha, \beta, apoi x,y,zx, y, z.
33 puncte
Verificarea independenței liniare a lui a⃗,b⃗,c⃗\vec{a}, \vec{b}, \vec{c} prin calculul determinantului matricei formate din componente; dacă determinantul este nenul, vectorii sunt liniar independenți.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Vectori

Mediu#1VectoriGeometrie AnaliticăSisteme de Ecuații Neliniare
Punctul N se află pe malul unui râu lat de 11 km, iar viteza curentului este 11 km/h. Punctul M este pe malul opus, la cel puțin 33 km în aval față de N; distanța de-a lungul râului dintre M și N este s≥3s\ge3 km. Un pescar pleacă din M și merge pe mal spre N cu 4 km/h. În același timp, un barcagiu pleacă din N, traversează râul pe o dreaptă până îl găsește pe pescar și îl duce înapoi la N pe aceeași dreaptă. Barcagiu vâslește într-o apă curgătoare cu viteza în apă liniștită 44 km/h, iar durata totală a drumului până la întâlnire și întoarcerea la N este 9/89/8 h. Determinați distanța ss dintre M și N măsurată de-a lungul râului.
Ușor#2VectoriGeometrie Analitică
Fie punctele A(1,1)A(1,1), B(4,5)B(4,5), C(7,1)C(7,1). a) Calculați vectorii AB⃗\vec{AB} și AC⃗\vec{AC}. b) Arătați că ∣AB⃗∣=∣BC⃗∣|\vec{AB}| = |\vec{BC}|. c) Determinați aria triunghiului ABCABC.
Ușor#3VectoriNumere ComplexeTrigonometrie
Fie vectorii u⃗=2i⃗−3j⃗\vec{u} = 2\vec{i} - 3\vec{j} și v⃗=−i⃗+4j⃗\vec{v} = -\vec{i} + 4\vec{j}. a) Calculați u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v} și u⃗⋅v⃗\vec{u} \cdot \vec{v}. b) Exprimați acești vectori ca numere complexe zuz_u și zvz_v și verificați că zu+zvz_u + z_v corespunde cu u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v}. c) Aflați argumentul principal al lui zuz_u.
Ușor#4VectoriGeometrie AnaliticăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie vectorii a⃗=2i⃗+3j⃗\vec{a} = 2\vec{i} + 3\vec{j}, b⃗=−i⃗+4j⃗\vec{b} = -\vec{i} + 4\vec{j} și c⃗=ki⃗+j⃗\vec{c} = k\vec{i} + \vec{j}. Determinați valoarea lui kk pentru care vectorii a⃗+b⃗\vec{a} + \vec{b} și c⃗\vec{c} sunt perpendiculari. Apoi, calculați aria triunghiului format de vectorii a⃗\vec{a}, b⃗\vec{b} și originea sistemului de coordonate.
Vezi toate problemele de Vectori →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Vectori cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.