MediuAplicații ale derivatelorClasa 11

Problemă rezolvată de Aplicații ale derivatelor

MediuAplicații ale derivatelorMonotonie și convexitateLogaritmi
Fie funcția f(x)=ln⁡(x2+4)−x22f(x) = \ln(x^2 + 4) - \frac{x^2}{2}. Determinați domeniul de definiție, intervalele de monotonie și convexitate, precum și punctele de extrem și de inflexiune.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Domeniul de definiție: x2+4>0x^2 + 4 > 0 pentru orice x∈Rx \in \mathbb{R}, deci Df=RD_f = \mathbb{R}. Calculați derivata întâi: f′(x)=2xx2+4−x=2x−x(x2+4)x2+4=−x3−2xx2+4=−x(x2+2)x2+4f'(x) = \frac{2x}{x^2+4} - x = \frac{2x - x(x^2+4)}{x^2+4} = \frac{-x^3 - 2x}{x^2+4} = \frac{-x(x^2+2)}{x^2+4}.
23 puncte
Găsiți punctele critice: f′(x)=0⇒−x(x2+2)=0⇒x=0f'(x)=0 \Rightarrow -x(x^2+2)=0 \Rightarrow x=0, deoarece x2+2>0x^2+2 > 0.
33 puncte
Studiați semnul derivatei întâi: pentru x<0x<0, f′(x)>0f'(x) > 0 deci ff crescătoare; pentru x>0x>0, f′(x)<0f'(x) < 0 deci ff descrescătoare. Astfel, x=0x=0 este punct de maxim local.
42 puncte
Calculați derivata a doua: f′′(x)=ddx(−x(x2+2)x2+4)=−(x2+4)(3x2+2)+x(x2+2)(2x)(x2+4)2=−x4−10x2−8(x2+4)2=−(x4+10x2+8)(x2+4)2f''(x) = \frac{d}{dx}\left(\frac{-x(x^2+2)}{x^2+4}\right) = \frac{ - (x^2+4)(3x^2+2) + x(x^2+2)(2x) }{(x^2+4)^2} = \frac{ -x^4 -10x^2 -8 }{(x^2+4)^2} = \frac{ -(x^4 +10x^2 +8) }{(x^2+4)^2}. Deoarece x4+10x2+8>0x^4 +10x^2 +8 > 0 pentru orice xx, f′′(x)<0f''(x) < 0 pe R\mathbb{R}, deci ff este concavă pe tot domeniul și nu există puncte de inflexiune.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Aplicații ale derivatelor

Mediu#1Aplicații ale derivatelorMonotonie și convexitateMatematică aplicată
O companie produce și vinde un anumit produs. Funcția costului total este C(x)=0.2x2+30x+500C(x) = 0.2x^2 + 30x + 500, iar funcția prețului este p(x)=150−xp(x) = 150 - x, unde xx este numărul de unități produse și vândute. Determinați nivelul de producție care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Mediu#2Aplicații ale derivatelorMatematică aplicatăStudiul funcțiilor
O companie produce un anumit produs. Costul total de producție este dat de funcția C(x)=0.1x3−3x2+30x+100C(x) = 0.1x^3 - 3x^2 + 30x + 100, unde xx este numărul de unități produse. Prețul de vânzare pe unitate este p(x)=50−0.5xp(x) = 50 - 0.5x. Determinați cantitatea xx care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Ușor#3Aplicații ale derivatelorMatematică aplicatăStudiul funcțiilor
O firmă produce un produs, iar costul total de producție este dat de funcția C(x)=0.1x2+50x+1000C(x) = 0.1x^2 + 50x + 1000, unde xx este numărul de unități produse. Prețul de vânzare este p(x)=200−0.5xp(x) = 200 - 0.5x lei per unitate. Determinați numărul de unități care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Mediu#4Aplicații ale derivatelorMatematică aplicată
Un depozit are forma unui paralelipiped dreptunghic cu baza pătrată. Volumul depozitului trebuie să fie de 500 m³. Materialul pentru pereți costă 10 lei/m², iar pentru acoperiș costă 15 lei/m². Determinați dimensiunile depozitului care minimizează costul total de construcție.
Vezi toate problemele de Aplicații ale derivatelor →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Aplicații ale derivatelor cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.