MediuVectoriClasa 10

Problemă rezolvată de Vectori

MediuVectoriGeometrie AnaliticăFuncția de gradul al II-lea
În sistemul cartezian xOyxOy, se consideră punctele A(1,2)A(1,2), B(4,1)B(4,1) și C(x,x2−4x+5)C(x, x^2 - 4x + 5). a) Determinați x∈Rx \in \mathbb{R} astfel încât AB⃗⊥AC⃗\vec{AB} \perp \vec{AC}. b) Pentru fiecare valoare a lui xx găsită, calculați ∣BC⃗∣|\vec{BC}|. c) Scrieți ecuația dreptei care trece prin BB și este paralelă cu AC⃗\vec{AC} pentru fiecare valoare a lui xx.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Calculează vectorii AB⃗\vec{AB} și AC⃗\vec{AC}. AB⃗=(4−1,1−2)=(3,−1)\vec{AB} = (4-1, 1-2) = (3, -1). AC⃗=(x−1,x2−4x+5−2)=(x−1,x2−4x+3)\vec{AC} = (x-1, x^2 - 4x + 5 - 2) = (x-1, x^2 - 4x + 3). Condiția de perpendicularitate: AB⃗⋅AC⃗=0⇒3(x−1)+(−1)(x2−4x+3)=0⇒3x−3−x2+4x−3=0⇒−x2+7x−6=0⇒x2−7x+6=0⇒(x−1)(x−6)=0⇒x1=1,x2=6\vec{AB} \cdot \vec{AC} = 0 \Rightarrow 3(x-1) + (-1)(x^2 - 4x + 3) = 0 \Rightarrow 3x - 3 - x^2 + 4x - 3 = 0 \Rightarrow -x^2 + 7x - 6 = 0 \Rightarrow x^2 - 7x + 6 = 0 \Rightarrow (x-1)(x-6)=0 \Rightarrow x_1=1, x_2=6.
23 puncte
Pentru x1=1x_1=1, C1(1,12−4⋅1+5)=(1,2)C_1(1, 1^2 - 4\cdot1 + 5) = (1,2), deci C1C_1 coincide cu AA. Atunci BC1⃗=(1−4,2−1)=(−3,1)\vec{BC_1} = (1-4, 2-1)=(-3,1), ∣BC1⃗∣=(−3)2+12=10|\vec{BC_1}| = \sqrt{(-3)^2 + 1^2} = \sqrt{10}. Pentru x2=6x_2=6, C2(6,62−4⋅6+5)=(6,17)C_2(6, 6^2 - 4\cdot6 + 5) = (6, 17). BC2⃗=(6−4,17−1)=(2,16)\vec{BC_2} = (6-4, 17-1) = (2,16), ∣BC2⃗∣=22+162=4+256=260=265|\vec{BC_2}| = \sqrt{2^2 + 16^2} = \sqrt{4+256} = \sqrt{260} = 2\sqrt{65}.
33 puncte
Pentru x1=1x_1=1, AC1⃗=(0,0)\vec{AC_1} = (0,0) (vector nul), deci nu se poate defini o direcție. În acest caz, punctul CC coincide cu AA, deci condiția de paralelism nu are sens pentru o dreaptă prin BB. Se consideră doar cazul x2=6x_2=6. Pentru x2=6x_2=6, AC2⃗=(6−1,17−2)=(5,15)=5(1,3)\vec{AC_2} = (6-1, 17-2) = (5,15) = 5(1,3). Dreapta prin B(4,1)B(4,1) cu direcția (1,3)(1,3) are ecuația: y−1x−4=3\frac{y-1}{x-4} = 3 (panta 3), sau y−1=3(x−4)⇒y=3x−11y-1=3(x-4) \Rightarrow y=3x-11.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Vectori

Mediu#1VectoriGeometrie AnaliticăSisteme de Ecuații Neliniare
Punctul N se află pe malul unui râu lat de 11 km, iar viteza curentului este 11 km/h. Punctul M este pe malul opus, la cel puțin 33 km în aval față de N; distanța de-a lungul râului dintre M și N este s≥3s\ge3 km. Un pescar pleacă din M și merge pe mal spre N cu 4 km/h. În același timp, un barcagiu pleacă din N, traversează râul pe o dreaptă până îl găsește pe pescar și îl duce înapoi la N pe aceeași dreaptă. Barcagiu vâslește într-o apă curgătoare cu viteza în apă liniștită 44 km/h, iar durata totală a drumului până la întâlnire și întoarcerea la N este 9/89/8 h. Determinați distanța ss dintre M și N măsurată de-a lungul râului.
Ușor#2VectoriGeometrie Analitică
Fie punctele A(1,1)A(1,1), B(4,5)B(4,5), C(7,1)C(7,1). a) Calculați vectorii AB⃗\vec{AB} și AC⃗\vec{AC}. b) Arătați că ∣AB⃗∣=∣BC⃗∣|\vec{AB}| = |\vec{BC}|. c) Determinați aria triunghiului ABCABC.
Ușor#3VectoriNumere ComplexeTrigonometrie
Fie vectorii u⃗=2i⃗−3j⃗\vec{u} = 2\vec{i} - 3\vec{j} și v⃗=−i⃗+4j⃗\vec{v} = -\vec{i} + 4\vec{j}. a) Calculați u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v} și u⃗⋅v⃗\vec{u} \cdot \vec{v}. b) Exprimați acești vectori ca numere complexe zuz_u și zvz_v și verificați că zu+zvz_u + z_v corespunde cu u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v}. c) Aflați argumentul principal al lui zuz_u.
Ușor#4VectoriGeometrie AnaliticăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie vectorii a⃗=2i⃗+3j⃗\vec{a} = 2\vec{i} + 3\vec{j}, b⃗=−i⃗+4j⃗\vec{b} = -\vec{i} + 4\vec{j} și c⃗=ki⃗+j⃗\vec{c} = k\vec{i} + \vec{j}. Determinați valoarea lui kk pentru care vectorii a⃗+b⃗\vec{a} + \vec{b} și c⃗\vec{c} sunt perpendiculari. Apoi, calculați aria triunghiului format de vectorii a⃗\vec{a}, b⃗\vec{b} și originea sistemului de coordonate.
Vezi toate problemele de Vectori →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Vectori cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.