MediuMonotonie și convexitateClasa 11

Problemă rezolvată de Monotonie și convexitate

MediuMonotonie și convexitateAplicații ale derivatelorMatematică aplicată
Profitul unei companii, în mii de lei, este modelat de funcția P(x)=−x3+12x2−45x+50P(x) = -x^3 + 12x^2 - 45x + 50, unde xx reprezintă cantitatea produsă în sute de unități, cu x>0x > 0. Studiați monotonitatea și convexitatea funcției PP pe intervalul (0,∞)(0, \infty). Determinați nivelul de producție care maximizează profitul și justificați folosind proprietățile funcției.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Se calculează derivata întâi: P′(x)=−3x2+24x−45P'(x) = -3x^2 + 24x - 45. Se rezolvă P′(x)=0P'(x)=0: −3x2+24x−45=0-3x^2 + 24x - 45 = 0, împărțind la −3-3, obținem x2−8x+15=0x^2 - 8x + 15 = 0, cu soluțiile x=3x=3 și x=5x=5, ambele în (0,∞)(0,\infty).
23 puncte
Se analizează semnul lui P′(x)P'(x): pe (0,3)(0,3), P′(x)<0P'(x)<0, deci PP este strict descrescătoare; pe (3,5)(3,5), P′(x)>0P'(x)>0, deci PP este strict crescătoare; pe (5,∞)(5,\infty), P′(x)<0P'(x)<0, deci PP este strict descrescătoare.
32 puncte
Se calculează derivata a doua: P′′(x)=−6x+24P''(x) = -6x + 24. Se rezolvă P′′(x)=0P''(x)=0: −6x+24=0-6x + 24 = 0, deci x=4x=4. Pe (0,4)(0,4), P′′(x)>0P''(x)>0, deci PP este convexă; pe (4,∞)(4,\infty), P′′(x)<0P''(x)<0, deci PP este concavă.
42 puncte
Din analiza monotoniei, PP are un minim local la x=3x=3 și un maxim local la x=5x=5. Pentru a maximiza profitul, se alege x=5x=5, deoarece PP crește până la x=5x=5 și apoi descrește. Se verifică cu testul derivatei a doua: P′′(5)=−6<0P''(5) = -6 < 0, confirmând că x=5x=5 este punct de maxim.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Monotonie și convexitate

Ușor#1Monotonie și convexitateDerivate
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=−x(x−2)2y = -x(x - 2)^2.
Ușor#2Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=2x3+3x2−2y = 2x^3 + 3x^2 - 2.
Ușor#3Monotonie și convexitateDerivate
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y=23x3−x2−4x+5y = \frac{2}{3}x^3 - x^2 - 4x + 5.
Mediu#4Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y = x4−4x3−8x2+3x^4 - 4x^3 - 8x^2 + 3.
Vezi toate problemele de Monotonie și convexitate →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Monotonie și convexitate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.