MediuVectoriClasa 10

Problemă rezolvată de Vectori

MediuVectoriGeometrie AnaliticăTrigonometrie
Fie vectorii u⃗=2i⃗+3j⃗\vec{u} = 2\vec{i} + 3\vec{j} și v⃗=ai⃗+bj⃗\vec{v} = a\vec{i} + b\vec{j}, unde aa și bb sunt numere reale. a) Determinați aa și bb astfel încât u⃗\vec{u} și v⃗\vec{v} să fie perpendiculari și ∣v⃗∣=5|\vec{v}| = 5. b) Pentru valorile găsite, calculați unghiul θ\theta dintre u⃗\vec{u} și w⃗=v⃗+u⃗\vec{w} = \vec{v} + \vec{u}.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Scriem condiția de perpendicularitate: u⃗⋅v⃗=2a+3b=0\vec{u} \cdot \vec{v} = 2a + 3b = 0.
23 puncte
Scriem condiția pentru modul: ∣v⃗∣=a2+b2=5|\vec{v}| = \sqrt{a^2 + b^2} = 5, deci a2+b2=25a^2 + b^2 = 25.
32 puncte
Rezolvăm sistemul {2a+3b=0a2+b2=25\begin{cases} 2a + 3b = 0 \\ a^2 + b^2 = 25 \end{cases}; din prima ecuație a=−32ba = -\frac{3}{2}b, înlocuim în a doua: (−32b)2+b2=25⇒94b2+b2=25⇒134b2=25⇒b2=10013\left(-\frac{3}{2}b\right)^2 + b^2 = 25 \Rightarrow \frac{9}{4}b^2 + b^2 = 25 \Rightarrow \frac{13}{4}b^2 = 25 \Rightarrow b^2 = \frac{100}{13}, deci b=±1013b = \pm \frac{10}{\sqrt{13}} și a=∓1513a = \mp \frac{15}{\sqrt{13}}.
42 puncte
Pentru fiecare pereche, calculăm w⃗=v⃗+u⃗=(a+2)i⃗+(b+3)j⃗\vec{w} = \vec{v} + \vec{u} = (a+2)\vec{i} + (b+3)\vec{j}, apoi ∣u⃗∣=13|\vec{u}| = \sqrt{13}, ∣w⃗∣=(a+2)2+(b+3)2|\vec{w}| = \sqrt{(a+2)^2 + (b+3)^2}, și cos⁡θ=u⃗⋅w⃗∣u⃗∣∣w⃗∣=2(a+2)+3(b+3)13⋅(a+2)2+(b+3)2\cos \theta = \frac{\vec{u} \cdot \vec{w}}{|\vec{u}| |\vec{w}|} = \frac{2(a+2) + 3(b+3)}{\sqrt{13} \cdot \sqrt{(a+2)^2 + (b+3)^2}}; cu 2a+3b=02a+3b=0, se obține θ=arccos⁡(1313(a+2)2+(b+3)2)\theta = \arccos\left(\frac{13}{\sqrt{13} \sqrt{(a+2)^2 + (b+3)^2}}\right).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Vectori

Mediu#1VectoriGeometrie AnaliticăSisteme de Ecuații Neliniare
Punctul N se află pe malul unui râu lat de 11 km, iar viteza curentului este 11 km/h. Punctul M este pe malul opus, la cel puțin 33 km în aval față de N; distanța de-a lungul râului dintre M și N este s≥3s\ge3 km. Un pescar pleacă din M și merge pe mal spre N cu 4 km/h. În același timp, un barcagiu pleacă din N, traversează râul pe o dreaptă până îl găsește pe pescar și îl duce înapoi la N pe aceeași dreaptă. Barcagiu vâslește într-o apă curgătoare cu viteza în apă liniștită 44 km/h, iar durata totală a drumului până la întâlnire și întoarcerea la N este 9/89/8 h. Determinați distanța ss dintre M și N măsurată de-a lungul râului.
Ușor#2VectoriGeometrie Analitică
Fie punctele A(1,1)A(1,1), B(4,5)B(4,5), C(7,1)C(7,1). a) Calculați vectorii AB⃗\vec{AB} și AC⃗\vec{AC}. b) Arătați că ∣AB⃗∣=∣BC⃗∣|\vec{AB}| = |\vec{BC}|. c) Determinați aria triunghiului ABCABC.
Ușor#3VectoriNumere ComplexeTrigonometrie
Fie vectorii u⃗=2i⃗−3j⃗\vec{u} = 2\vec{i} - 3\vec{j} și v⃗=−i⃗+4j⃗\vec{v} = -\vec{i} + 4\vec{j}. a) Calculați u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v} și u⃗⋅v⃗\vec{u} \cdot \vec{v}. b) Exprimați acești vectori ca numere complexe zuz_u și zvz_v și verificați că zu+zvz_u + z_v corespunde cu u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v}. c) Aflați argumentul principal al lui zuz_u.
Ușor#4VectoriGeometrie AnaliticăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie vectorii a⃗=2i⃗+3j⃗\vec{a} = 2\vec{i} + 3\vec{j}, b⃗=−i⃗+4j⃗\vec{b} = -\vec{i} + 4\vec{j} și c⃗=ki⃗+j⃗\vec{c} = k\vec{i} + \vec{j}. Determinați valoarea lui kk pentru care vectorii a⃗+b⃗\vec{a} + \vec{b} și c⃗\vec{c} sunt perpendiculari. Apoi, calculați aria triunghiului format de vectorii a⃗\vec{a}, b⃗\vec{b} și originea sistemului de coordonate.
Vezi toate problemele de Vectori →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Vectori cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.