MediuMonotonie și convexitateClasa 11

Problemă rezolvată de Monotonie și convexitate

MediuMonotonie și convexitateAplicații ale derivatelorPolinoame
Fie funcția f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x3−3x2+4f(x) = x^3 - 3x^2 + 4. Să se determine punctele de extrem local și să se studieze convexitatea funcției. Apoi, să se găsească valorile lui m∈Rm \in \mathbb{R} pentru care ecuația f(x)=mf(x) = m are trei soluții reale distincte.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Se calculează derivata întâi: f′(x)=3x2−6x=3x(x−2)f'(x) = 3x^2 - 6x = 3x(x-2). Punctele critice sunt soluțiile f′(x)=0f'(x)=0, adică x=0x=0 și x=2x=2.
23 puncte
Se aplică testul derivatei a doua: f′′(x)=6x−6f''(x) = 6x - 6. f′′(0)=−6<0f''(0) = -6 < 0, deci x=0x=0 este punct de maxim local, f(0)=4f(0)=4; f′′(2)=6>0f''(2) = 6 > 0, deci x=2x=2 este punct de minim local, f(2)=0f(2)=0.
32 puncte
Se studiază convexitatea: f′′(x)>0f''(x) > 0 pentru x>1x > 1, deci funcția este convexă pe (1,∞)(1, \infty), și f′′(x)<0f''(x) < 0 pentru x<1x < 1, deci funcția este concavă pe (−∞,1)(-\infty, 1).
43 puncte
Pentru ca ecuația f(x)=mf(x)=m să aibă trei soluții reale distincte, valoarea mm trebuie să fie între valorile extreme locale. Din monotonie și convexitate, mm trebuie să satisfacă 0<m<40 < m < 4, deoarece funcția are un maxim la y=4y=4 și un minim la y=0y=0, iar pe intervalele corespunzătoare este bijectivă. Suma: 10 puncte.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Monotonie și convexitate

Ușor#1Monotonie și convexitateDerivate
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=−x(x−2)2y = -x(x - 2)^2.
Ușor#2Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=2x3+3x2−2y = 2x^3 + 3x^2 - 2.
Ușor#3Monotonie și convexitateDerivate
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y=23x3−x2−4x+5y = \frac{2}{3}x^3 - x^2 - 4x + 5.
Mediu#4Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y = x4−4x3−8x2+3x^4 - 4x^3 - 8x^2 + 3.
Vezi toate problemele de Monotonie și convexitate →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Monotonie și convexitate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.