MediuMonotonie și convexitateClasa 11

Problemă rezolvată de Monotonie și convexitate

MediuMonotonie și convexitateAplicații ale derivatelorMatematică aplicată
O cutie paralelipipedică cu bază pătrată trebuie construită cu un volum de 32 m³. Materialul pentru bază costă 10 lei pe m², iar pentru fețele laterale costă 6 lei pe m². Exprimați costul total în funcție de latura bazei, studiați monotonia și convexitatea funcției cost, și determinați dimensiunile care minimizează costul.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Fie xx latura bazei (în m) și hh înălțimea (în m). Din volum, x2h=32⇒h=32x2x^2 h = 32 \Rightarrow h = \frac{32}{x^2}, cu x>0x > 0. Costul total C(x)=10x2+6⋅4xh=10x2+24x⋅32x2=10x2+768xC(x) = 10x^2 + 6 \cdot 4xh = 10x^2 + 24x \cdot \frac{32}{x^2} = 10x^2 + \frac{768}{x}. \
23 puncte
Calculați derivata C′(x)=20x−768x2C'(x) = 20x - \frac{768}{x^2}. Rezolvați C′(x)=0C'(x) = 0: 20x=768x2⇒20x3=768⇒x3=38.4⇒x=38.43=24.8320x = \frac{768}{x^2} \Rightarrow 20x^3 = 768 \Rightarrow x^3 = 38.4 \Rightarrow x = \sqrt[3]{38.4} = 2\sqrt[3]{4.8} (se poate lăsa x=38.43x = \sqrt[3]{38.4}). Acesta este punctul critic. \
32 puncte
Studiați semnul lui C′(x)C'(x): pentru x<38.43x < \sqrt[3]{38.4}, C′(x)<0C'(x) < 0, deci CC este descrescătoare; pentru x>38.43x > \sqrt[3]{38.4}, C′(x)>0C'(x) > 0, deci CC este crescătoare. Monotonia confirmă că punctul critic este minim. \
42 puncte
Calculați derivata a doua C′′(x)=20+1536x3>0C''(x) = 20 + \frac{1536}{x^3} > 0 pentru x>0x > 0, deci CC este convexă pe domeniu, ceea ce asigură că minimul este global. Dimensiunile optime: latura bazei x=38.43x = \sqrt[3]{38.4} m, înălțimea h=32(38.43)2h = \frac{32}{(\sqrt[3]{38.4})^2} m.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Monotonie și convexitate

Ușor#1Monotonie și convexitateDerivate
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=−x(x−2)2y = -x(x - 2)^2.
Ușor#2Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=2x3+3x2−2y = 2x^3 + 3x^2 - 2.
Ușor#3Monotonie și convexitateDerivate
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y=23x3−x2−4x+5y = \frac{2}{3}x^3 - x^2 - 4x + 5.
Mediu#4Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y = x4−4x3−8x2+3x^4 - 4x^3 - 8x^2 + 3.
Vezi toate problemele de Monotonie și convexitate →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Monotonie și convexitate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.