MediuMonotonie și convexitateClasa 11

Problemă rezolvată de Monotonie și convexitate

MediuMonotonie și convexitateAplicații ale derivatelorMatematică aplicată
O firmă produce un produs, iar costul total de producție pentru xx unități este dat de funcția C(x)=1000+50x+0.1x2C(x) = 1000 + 50x + 0.1x^2, măsurat în lei. Prețul de vânzare al unei unități este p(x)=200−0.5xp(x) = 200 - 0.5x lei. Folosind derivata, determinați numărul de unități xx care maximizează profitul. Verificați monotonia funcției profit în jurul acestui punct și discutați convexitatea funcției cost pentru a argumenta dacă punctul găsit este de maxim.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Scrieți funcția profitului P(x)=x⋅p(x)−C(x)=x(200−0.5x)−(1000+50x+0.1x2)=−0.6x2+150x−1000P(x) = x \cdot p(x) - C(x) = x(200 - 0.5x) - (1000 + 50x + 0.1x^2) = -0.6x^2 + 150x - 1000. Calculați derivata întâi P′(x)=−1.2x+150P'(x) = -1.2x + 150.
23 puncte
Studiați semnul derivatei P′(x)P'(x): P′(x)=0P'(x) = 0 pentru x=125x = 125. P′(x)>0P'(x) > 0 pentru x<125x < 125, deci PP este crescătoare; P′(x)<0P'(x) < 0 pentru x>125x > 125, deci PP este descrescătoare. Punctul critic este x=125x=125.
32 puncte
Calculați derivata a doua P′′(x)=−1.2<0P''(x) = -1.2 < 0, deci PP este concavă, iar x=125x=125 este punct de maxim. Alternativ, folosind monotonia, este maxim.
42 puncte
Discutați convexitatea funcției cost: C′′(x)=0.2>0C''(x) = 0.2 > 0, deci CC este convexă, ceea ce indică costuri marginale crescătoare, consistent cu punctul de maxim al profitului.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Monotonie și convexitate

Ușor#1Monotonie și convexitateDerivate
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=−x(x−2)2y = -x(x - 2)^2.
Ușor#2Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=2x3+3x2−2y = 2x^3 + 3x^2 - 2.
Ușor#3Monotonie și convexitateDerivate
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y=23x3−x2−4x+5y = \frac{2}{3}x^3 - x^2 - 4x + 5.
Mediu#4Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y = x4−4x3−8x2+3x^4 - 4x^3 - 8x^2 + 3.
Vezi toate problemele de Monotonie și convexitate →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Monotonie și convexitate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.