MediuMonotonie și convexitateClasa 11

Problemă rezolvată de Monotonie și convexitate

MediuMonotonie și convexitateAplicații ale derivatelorStudiul funcțiilor
Se consideră funcția f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=e−x2+xf(x) = e^{-x^2} + x. Studiați monotonia și convexitatea funcției ff. Apoi, determinați numărul de soluții reale ale ecuației f(x)=kf(x) = k, unde kk este un parametru real.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Calculăm derivata întâi: f′(x)=−2xe−x2+1f'(x) = -2x e^{-x^2} + 1. Rezolvăm f′(x)=0f'(x)=0, adică −2xe−x2+1=0-2x e^{-x^2} + 1 = 0. Observăm că ecuația este transcendentă; analizăm funcția h(x)=−2xe−x2+1h(x) = -2x e^{-x^2} + 1 pentru a găsi zerourile aproximative sau folosim proprietăți de monotonie. Punctele critice se găsesc unde f′(x)=0f'(x)=0.
23 puncte
Studiem semnul lui f′(x)f'(x) pe intervalele determinate de punctele critice. Calculăm f′(0)=1>0f'(0)=1>0, iar pentru xx mare, f′(x)f'(x) devine negativ. Determinăm că există un punct critic unic x0x_0 astfel încât f′(x0)=0f'(x_0)=0, cu f′(x)>0f'(x)>0 pe (−∞,x0)(-\infty, x_0) și f′(x)<0f'(x)<0 pe (x0,∞)(x_0, \infty), deci ff este crescătoare pe (−∞,x0)(-\infty, x_0) și descrescătoare pe (x0,∞)(x_0, \infty).
32 puncte
Calculăm derivata a doua: f′′(x)=(4x2−2)e−x2f''(x) = (4x^2 - 2)e^{-x^2}. Rezolvăm f′′(x)=0f''(x)=0, adică 4x2−2=04x^2 - 2 = 0, deci x=±22x = \pm\frac{\sqrt{2}}{2}. Studiem semnul lui f′′(x)f''(x): f′′(x)>0f''(x)>0 pentru x∈(−∞,−22)∪(22,∞)x \in (-\infty, -\frac{\sqrt{2}}{2}) \cup (\frac{\sqrt{2}}{2}, \infty) (convexă) și f′′(x)<0f''(x)<0 pentru x∈(−22,22)x \in (-\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}) (concavă). Punctele x=±22x = \pm\frac{\sqrt{2}}{2} sunt puncte de inflexiune.
42 puncte
Analizând graficul funcției pe baza monotoniei și convexității, observăm că ff are un maxim la x0x_0 și tinde spre −∞-\infty când x→−∞x \to -\infty și spre ∞\infty când x→∞x \to \infty datorită termenului xx. Ecuația f(x)=kf(x)=k are: o soluție pentru k>f(x0)k > f(x_0), două soluții pentru k=f(x0)k = f(x_0) (dacă maximul este atins o dată, dar din convexitate, poate fi dublă), și trei soluții pentru k<f(x0)k < f(x_0) dacă funcția intersectează de trei ori axa orizontală. Detaliat, folosind teorema valorii intermediare și comportamentul asimptotic.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Monotonie și convexitate

Ușor#1Monotonie și convexitateDerivate
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=−x(x−2)2y = -x(x - 2)^2.
Ușor#2Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=2x3+3x2−2y = 2x^3 + 3x^2 - 2.
Ușor#3Monotonie și convexitateDerivate
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y=23x3−x2−4x+5y = \frac{2}{3}x^3 - x^2 - 4x + 5.
Mediu#4Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y = x4−4x3−8x2+3x^4 - 4x^3 - 8x^2 + 3.
Vezi toate problemele de Monotonie și convexitate →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Monotonie și convexitate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.