MediuMonotonie și convexitateClasa 11

Problemă rezolvată de Monotonie și convexitate

MediuMonotonie și convexitateAplicații ale derivatelorStudiul funcțiilor
Fie funcția f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=e−x2⋅(x2−2x+3)f(x) = e^{-x^2} \cdot (x^2 - 2x + 3). Determinați intervalele de monotonie și convexitate ale funcției ff și calculați valoarea maximă a funcției pe intervalul [0,∞)[0, \infty).

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Calculați derivata întâi f′(x)f'(x) folosind regula produsului: f′(x)=e−x2⋅(−2x)(x2−2x+3)+e−x2⋅(2x−2)=e−x2⋅(−2x3+4x2−4x−2)f'(x) = e^{-x^2} \cdot (-2x)(x^2 - 2x + 3) + e^{-x^2} \cdot (2x - 2) = e^{-x^2} \cdot (-2x^3 + 4x^2 - 4x - 2) și determinați punctele critice rezolvând f′(x)=0f'(x)=0.
23 puncte
Studiați semnul lui f′(x)f'(x) pe intervalele determinate de punctele critice pentru a stabili unde ff este crescătoare sau descrescătoare.
32 puncte
Calculați derivata a doua f′′(x)f''(x) și determinați punctele de inflexiune și semnul ei pentru a identifica intervalele de convexitate (f′′(x)>0f''(x) > 0) și concavitate (f′′(x)<0f''(x) < 0).
42 puncte
Folosiți rezultatele de la monotonie și convexitate pentru a analiza comportamentul funcției pe [0,∞)[0, \infty) și a calcula valoarea maximă, verificând punctele critice și limita la infinit.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Monotonie și convexitate

Ușor#1Monotonie și convexitateDerivate
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=−x(x−2)2y = -x(x - 2)^2.
Ușor#2Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=2x3+3x2−2y = 2x^3 + 3x^2 - 2.
Ușor#3Monotonie și convexitateDerivate
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y=23x3−x2−4x+5y = \frac{2}{3}x^3 - x^2 - 4x + 5.
Mediu#4Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y = x4−4x3−8x2+3x^4 - 4x^3 - 8x^2 + 3.
Vezi toate problemele de Monotonie și convexitate →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Monotonie și convexitate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.