MediuMonotonie și convexitateClasa 11

Problemă rezolvată de Monotonie și convexitate

MediuMonotonie și convexitateAplicații ale derivatelorAsimptote
Considerăm funcția f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=e−x(x2−2x+1)f(x) = e^{-x} (x^2 - 2x + 1). a) Determinați intervalele de monotonie ale lui ff. b) Determinați intervalele de convexitate și concavitate ale lui ff. c) Găsiți valorile extreme ale lui ff și punctele de inflexiune. d) Schițați graficul lui ff, indicând asimptotele orizontale dacă există.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Calculăm derivata întâi: f′(x)=−e−x(x2−2x+1)+e−x(2x−2)=e−x(−x2+4x−3)f'(x) = -e^{-x}(x^2 - 2x + 1) + e^{-x}(2x - 2) = e^{-x}(-x^2 + 4x - 3).
23 puncte
Rezolvăm f′(x)=0f'(x)=0 adică e−x(−x2+4x−3)=0e^{-x}(-x^2 + 4x - 3)=0. Deoarece e−x>0e^{-x} > 0 pentru orice xx, obținem −x2+4x−3=0-x^2 + 4x - 3=0 cu soluțiile x=1x=1 și x=3x=3. Studiind semnul lui f′(x)f'(x): pentru x<1x<1, f′(x)<0f'(x)<0 (funcție descrescătoare); pentru 1<x<31<x<3, f′(x)>0f'(x)>0 (funcție crescătoare); pentru x>3x>3, f′(x)<0f'(x)<0 (funcție descrescătoare). Intervalele de monotonie: descrescătoare pe (−∞,1)(-\infty, 1) și (3,∞)(3, \infty), crescătoare pe (1,3)(1,3).
32 puncte
Calculăm derivata a doua: f′′(x)=e−x(x2−6x+7)f''(x) = e^{-x}(x^2 - 6x + 7).
42 puncte
Rezolvăm f′′(x)=0f''(x)=0 adică e−x(x2−6x+7)=0e^{-x}(x^2 - 6x + 7)=0. Obținem x2−6x+7=0x^2 - 6x + 7=0 cu soluțiile x=3−2x=3-\sqrt{2} și x=3+2x=3+\sqrt{2}. Studiind semnul lui f′′(x)f''(x): pentru x<3−2x<3-\sqrt{2}, f′′(x)>0f''(x)>0 (convexă); pentru 3−2<x<3+23-\sqrt{2}<x<3+\sqrt{2}, f′′(x)<0f''(x)<0 (concavă); pentru x>3+2x>3+\sqrt{2}, f′′(x)>0f''(x)>0 (convexă). Intervalele: convexă pe (−∞,3−2)(-\infty, 3-\sqrt{2}) și (3+2,∞)(3+\sqrt{2}, \infty), concavă pe (3−2,3+2)(3-\sqrt{2}, 3+\sqrt{2}).
51 punct
Valorile extreme: minim local f(1)=0f(1)=0, maxim local f(3)=4e−3f(3)=4e^{-3}. Punctele de inflexiune: (3−2,f(3−2))(3-\sqrt{2}, f(3-\sqrt{2})) și (3+2,f(3+2))(3+\sqrt{2}, f(3+\sqrt{2})), unde f(3−2)=e−(3−2)(2−22+2)f(3-\sqrt{2}) = e^{-(3-\sqrt{2})}(2-2\sqrt{2}+2) și f(3+2)=e−(3+2)(2+22+2)f(3+\sqrt{2}) = e^{-(3+\sqrt{2})}(2+2\sqrt{2}+2) (calcule exacte). Asimptota orizontală: lim⁡x→∞f(x)=0\lim_{x \to \infty} f(x) = 0, deci y=0y=0 este asimptotă orizontală spre +∞+\infty; lim⁡x→−∞f(x)=+∞\lim_{x \to -\infty} f(x) = +\infty, nu există asimptotă spre −∞-\infty.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Monotonie și convexitate

Ușor#1Monotonie și convexitateDerivate
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=−x(x−2)2y = -x(x - 2)^2.
Ușor#2Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=2x3+3x2−2y = 2x^3 + 3x^2 - 2.
Ușor#3Monotonie și convexitateDerivate
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y=23x3−x2−4x+5y = \frac{2}{3}x^3 - x^2 - 4x + 5.
Mediu#4Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y = x4−4x3−8x2+3x^4 - 4x^3 - 8x^2 + 3.
Vezi toate problemele de Monotonie și convexitate →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Monotonie și convexitate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.