MediuVectoriClasa 10

Problemă rezolvată de Vectori

MediuVectoriGeometrie Analitică
În spațiu, se consideră vectorii a⃗=i⃗+2j⃗+3k⃗\vec{a} = \vec{i} + 2\vec{j} + 3\vec{k}, b⃗=4i⃗−j⃗+k⃗\vec{b} = 4\vec{i} - \vec{j} + \vec{k}, și c⃗=2i⃗+j⃗−k⃗\vec{c} = 2\vec{i} + \vec{j} - \vec{k}. a) Verificați dacă vectorii sunt coplanari calculând produsul mixt (a⃗,b⃗,c⃗)(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}). b) Dacă nu sunt coplanari, calculați volumul paralelipipedului construit pe acești vectori. c) Determinați ecuația planului care trece prin punctele A(1,1,1)A(1,1,1), B(2,3,4)B(2,3,4), și C(0,−1,2)C(0,-1,2) folosind metode vectoriale.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Calculați b⃗×c⃗=∣i⃗j⃗k⃗4−1121−1∣=i⃗(1−1)−j⃗(−4−2)+k⃗(4+2)=6j⃗+6k⃗\vec{b} \times \vec{c} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 4 & -1 & 1 \\ 2 & 1 & -1 \end{vmatrix} = \vec{i}(1 - 1) - \vec{j}(-4 - 2) + \vec{k}(4 + 2) = 6\vec{j} + 6\vec{k}. Apoi a⃗⋅(b⃗×c⃗)=(1,2,3)⋅(0,6,6)=30≠0\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) = (1,2,3) \cdot (0,6,6) = 30 \neq 0, deci vectorii nu sunt coplanari.
23 puncte
Volumul paralelipipedului este ∣a⃗⋅(b⃗×c⃗)∣=30| \vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) | = 30 unități cubice.
33 puncte
Găsiți vectorii AB⃗=(1,2,3)\vec{AB} = (1,2,3) și AC⃗=(−1,−2,1)\vec{AC} = (-1,-2,1). Produsul vectorial AB⃗×AC⃗=∣i⃗j⃗k⃗123−1−21∣=(8,−4,0)\vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 2 & 3 \\ -1 & -2 & 1 \end{vmatrix} = (8, -4, 0). Ecuația planului: 8(x−1)−4(y−1)=08(x-1) - 4(y-1) = 0 sau 2x−y−1=02x - y - 1 = 0.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Vectori

Mediu#1VectoriGeometrie AnaliticăSisteme de Ecuații Neliniare
Punctul N se află pe malul unui râu lat de 11 km, iar viteza curentului este 11 km/h. Punctul M este pe malul opus, la cel puțin 33 km în aval față de N; distanța de-a lungul râului dintre M și N este s≥3s\ge3 km. Un pescar pleacă din M și merge pe mal spre N cu 4 km/h. În același timp, un barcagiu pleacă din N, traversează râul pe o dreaptă până îl găsește pe pescar și îl duce înapoi la N pe aceeași dreaptă. Barcagiu vâslește într-o apă curgătoare cu viteza în apă liniștită 44 km/h, iar durata totală a drumului până la întâlnire și întoarcerea la N este 9/89/8 h. Determinați distanța ss dintre M și N măsurată de-a lungul râului.
Ușor#2VectoriGeometrie Analitică
Fie punctele A(1,1)A(1,1), B(4,5)B(4,5), C(7,1)C(7,1). a) Calculați vectorii AB⃗\vec{AB} și AC⃗\vec{AC}. b) Arătați că ∣AB⃗∣=∣BC⃗∣|\vec{AB}| = |\vec{BC}|. c) Determinați aria triunghiului ABCABC.
Ușor#3VectoriNumere ComplexeTrigonometrie
Fie vectorii u⃗=2i⃗−3j⃗\vec{u} = 2\vec{i} - 3\vec{j} și v⃗=−i⃗+4j⃗\vec{v} = -\vec{i} + 4\vec{j}. a) Calculați u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v} și u⃗⋅v⃗\vec{u} \cdot \vec{v}. b) Exprimați acești vectori ca numere complexe zuz_u și zvz_v și verificați că zu+zvz_u + z_v corespunde cu u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v}. c) Aflați argumentul principal al lui zuz_u.
Ușor#4VectoriGeometrie AnaliticăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie vectorii a⃗=2i⃗+3j⃗\vec{a} = 2\vec{i} + 3\vec{j}, b⃗=−i⃗+4j⃗\vec{b} = -\vec{i} + 4\vec{j} și c⃗=ki⃗+j⃗\vec{c} = k\vec{i} + \vec{j}. Determinați valoarea lui kk pentru care vectorii a⃗+b⃗\vec{a} + \vec{b} și c⃗\vec{c} sunt perpendiculari. Apoi, calculați aria triunghiului format de vectorii a⃗\vec{a}, b⃗\vec{b} și originea sistemului de coordonate.
Vezi toate problemele de Vectori →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Vectori cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.