MediuVectoriClasa 11

Problemă rezolvată de Vectori

MediuVectoriAlgebră și Calcule cu Numere RealeSisteme de Ecuații Liniare
Rezolvați în mulțimea vectorilor din spațiul tridimensional ecuația x⃗×a⃗=b⃗\vec{x} \times \vec{a} = \vec{b}, unde a⃗=i⃗+j⃗+k⃗\vec{a} = \vec{i} + \vec{j} + \vec{k} și b⃗=i⃗−j⃗\vec{b} = \vec{i} - \vec{j}. Discutați existența și unicitatea soluției.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Scrieți ecuația sub formă de sistem. Fie x⃗=xi⃗+yj⃗+zk⃗\vec{x} = x\vec{i} + y\vec{j} + z\vec{k}. Atunci x⃗×a⃗=∣i⃗j⃗k⃗xyz111∣=(y−z)i⃗−(x−z)j⃗+(x−y)k⃗\vec{x} \times \vec{a} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ x & y & z \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = (y - z)\vec{i} - (x - z)\vec{j} + (x - y)\vec{k}.
23 puncte
Egalând cu b⃗=i⃗−j⃗\vec{b} = \vec{i} - \vec{j}, obținem sistemul: y−z=1y - z = 1, x−z=1x - z = 1, x−y=0x - y = 0.
33 puncte
Rezolvăm sistemul. Din x−y=0x - y = 0 avem x=yx = y. Din x−z=1x - z = 1 avem z=x−1z = x - 1. Substituind în y−z=1y - z = 1: x−(x−1)=1x - (x - 1) = 1 este adevărat. Soluția generală: x=tx = t, y=ty = t, z=t−1z = t - 1, t∈Rt \in \mathbb{R}.
42 puncte
Discuție: Ecuația are soluții dacă a⃗⋅b⃗=0\vec{a} \cdot \vec{b} = 0. Aici a⃗⋅b⃗=1⋅1+1⋅(−1)+1⋅0=0\vec{a} \cdot \vec{b} = 1 \cdot 1 + 1 \cdot (-1) + 1 \cdot 0 = 0, deci există soluții. Soluția nu este unică deoarece orice vector de forma x⃗=ti⃗+tj⃗+(t−1)k⃗\vec{x} = t\vec{i} + t\vec{j} + (t-1)\vec{k} este soluție, și dacă adăugăm un multiplu al lui a⃗\vec{a}, obținem aceeași ecuație.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Vectori

Mediu#1VectoriGeometrie AnaliticăSisteme de Ecuații Neliniare
Punctul N se află pe malul unui râu lat de 11 km, iar viteza curentului este 11 km/h. Punctul M este pe malul opus, la cel puțin 33 km în aval față de N; distanța de-a lungul râului dintre M și N este s≥3s\ge3 km. Un pescar pleacă din M și merge pe mal spre N cu 4 km/h. În același timp, un barcagiu pleacă din N, traversează râul pe o dreaptă până îl găsește pe pescar și îl duce înapoi la N pe aceeași dreaptă. Barcagiu vâslește într-o apă curgătoare cu viteza în apă liniștită 44 km/h, iar durata totală a drumului până la întâlnire și întoarcerea la N este 9/89/8 h. Determinați distanța ss dintre M și N măsurată de-a lungul râului.
Ușor#2VectoriGeometrie Analitică
Fie punctele A(1,1)A(1,1), B(4,5)B(4,5), C(7,1)C(7,1). a) Calculați vectorii AB⃗\vec{AB} și AC⃗\vec{AC}. b) Arătați că ∣AB⃗∣=∣BC⃗∣|\vec{AB}| = |\vec{BC}|. c) Determinați aria triunghiului ABCABC.
Ușor#3VectoriNumere ComplexeTrigonometrie
Fie vectorii u⃗=2i⃗−3j⃗\vec{u} = 2\vec{i} - 3\vec{j} și v⃗=−i⃗+4j⃗\vec{v} = -\vec{i} + 4\vec{j}. a) Calculați u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v} și u⃗⋅v⃗\vec{u} \cdot \vec{v}. b) Exprimați acești vectori ca numere complexe zuz_u și zvz_v și verificați că zu+zvz_u + z_v corespunde cu u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v}. c) Aflați argumentul principal al lui zuz_u.
Ușor#4VectoriGeometrie AnaliticăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie vectorii a⃗=2i⃗+3j⃗\vec{a} = 2\vec{i} + 3\vec{j}, b⃗=−i⃗+4j⃗\vec{b} = -\vec{i} + 4\vec{j} și c⃗=ki⃗+j⃗\vec{c} = k\vec{i} + \vec{j}. Determinați valoarea lui kk pentru care vectorii a⃗+b⃗\vec{a} + \vec{b} și c⃗\vec{c} sunt perpendiculari. Apoi, calculați aria triunghiului format de vectorii a⃗\vec{a}, b⃗\vec{b} și originea sistemului de coordonate.
Vezi toate problemele de Vectori →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Vectori cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.