MediuAplicații ale derivatelorClasa 11

Problemă rezolvată de Aplicații ale derivatelor

MediuAplicații ale derivatelorMonotonie și convexitateGeometrie Analitică
Fie funcția f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x3−3xf(x) = x^3 - 3x. a) Studiați monotonia funcției ff pe R\mathbb{R}. b) Studiați convexitatea/concavitatea funcției ff pe R\mathbb{R}. c) Determinați punctul P(a,f(a))P(a, f(a)) pe graficul funcției ff astfel încât tangenta la grafic în PP să formeze cu axele de coordonate un triunghi de arie minimă.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Calculăm derivata întâi: f′(x)=3x2−3=3(x−1)(x+1)f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x-1)(x+1). Studiind semnul, obținem: f′(x)≥0f'(x) \geq 0 pentru x∈(−∞,−1]∪[1,∞)x \in (-\infty, -1] \cup [1, \infty), deci ff este crescătoare pe aceste intervale, și f′(x)≤0f'(x) \leq 0 pentru x∈[−1,1]x \in [-1,1], deci ff este descrescătoare pe [−1,1][-1,1]. Puncte de extrem: maxim local în x=−1x=-1, f(−1)=2f(-1)=2; minim local în x=1x=1, f(1)=−2f(1)=-2.
23 puncte
Calculăm derivata a doua: f′′(x)=6xf''(x) = 6x. f′′(x)<0f''(x) < 0 pentru x<0x < 0, deci ff este concavă pe (−∞,0)(-\infty, 0), și f′′(x)>0f''(x) > 0 pentru x>0x > 0, deci ff este convexă pe (0,∞)(0, \infty). Punct de inflexiune în x=0x=0, f(0)=0f(0)=0.
34 puncte
Tangenta în punctul (a,f(a))(a, f(a)) are ecuația y−f(a)=f′(a)(x−a)y - f(a) = f'(a)(x - a), adică y=(3a2−3)x−2a3y = (3a^2 - 3)x - 2a^3. Intersecțiile cu axele: cu axa OxOx: y=0⇒x=2a33a2−3y=0 \Rightarrow x = \frac{2a^3}{3a^2-3}, cu condiția a≠±1a \neq \pm 1; cu axa OyOy: x=0⇒y=−2a3x=0 \Rightarrow y = -2a^3. Aria triunghiului este S(a)=12∣2a33a2−3∣⋅∣−2a3∣=2∣a∣6∣3a2−3∣S(a) = \frac{1}{2} \left| \frac{2a^3}{3a^2-3} \right| \cdot \left| -2a^3 \right| = \frac{2|a|^6}{|3a^2-3|}. Considerăm a≠±1a \neq \pm 1 și a≠0a \neq 0 (altfel triunghiul degenerează). Pentru a>0a > 0 și a≠1a \neq 1, S(a)=2a63a2−3=2a63(a2−1)S(a) = \frac{2a^6}{3a^2-3} = \frac{2a^6}{3(a^2-1)}. Derivata S′(a)=12a5⋅3(a2−1)−2a6⋅6a9(a2−1)2=36a5(a2−1)−12a79(a2−1)2=12a5(3a2−3−a2)9(a2−1)2=12a5(2a2−3)9(a2−1)2S'(a) = \frac{12a^5 \cdot 3(a^2-1) - 2a^6 \cdot 6a}{9(a^2-1)^2} = \frac{36a^5(a^2-1) - 12a^7}{9(a^2-1)^2} = \frac{12a^5(3a^2-3 - a^2)}{9(a^2-1)^2} = \frac{12a^5(2a^2-3)}{9(a^2-1)^2}. S′(a)=0S'(a)=0 implică a=0a=0 (exclus) sau a=32a = \sqrt{\frac{3}{2}}. Studiem semnul: pentru a<32a < \sqrt{\frac{3}{2}}, S′(a)<0S'(a)<0; pentru a>32a > \sqrt{\frac{3}{2}}, S′(a)>0S'(a)>0. Deci minimul este atins în a=32a = \sqrt{\frac{3}{2}}. Punctul căutat este P(32,(32)3−332)P\left(\sqrt{\frac{3}{2}}, \left(\sqrt{\frac{3}{2}}\right)^3 - 3\sqrt{\frac{3}{2}}\right).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Aplicații ale derivatelor

Mediu#1Aplicații ale derivatelorMonotonie și convexitateMatematică aplicată
O companie produce și vinde un anumit produs. Funcția costului total este C(x)=0.2x2+30x+500C(x) = 0.2x^2 + 30x + 500, iar funcția prețului este p(x)=150−xp(x) = 150 - x, unde xx este numărul de unități produse și vândute. Determinați nivelul de producție care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Mediu#2Aplicații ale derivatelorMatematică aplicatăStudiul funcțiilor
O companie produce un anumit produs. Costul total de producție este dat de funcția C(x)=0.1x3−3x2+30x+100C(x) = 0.1x^3 - 3x^2 + 30x + 100, unde xx este numărul de unități produse. Prețul de vânzare pe unitate este p(x)=50−0.5xp(x) = 50 - 0.5x. Determinați cantitatea xx care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Ușor#3Aplicații ale derivatelorMatematică aplicatăStudiul funcțiilor
O firmă produce un produs, iar costul total de producție este dat de funcția C(x)=0.1x2+50x+1000C(x) = 0.1x^2 + 50x + 1000, unde xx este numărul de unități produse. Prețul de vânzare este p(x)=200−0.5xp(x) = 200 - 0.5x lei per unitate. Determinați numărul de unități care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Mediu#4Aplicații ale derivatelorMatematică aplicată
Un depozit are forma unui paralelipiped dreptunghic cu baza pătrată. Volumul depozitului trebuie să fie de 500 m³. Materialul pentru pereți costă 10 lei/m², iar pentru acoperiș costă 15 lei/m². Determinați dimensiunile depozitului care minimizează costul total de construcție.
Vezi toate problemele de Aplicații ale derivatelor →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Aplicații ale derivatelor cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.