MediuMonotonie și convexitateClasa 11

Problemă rezolvată de Monotonie și convexitate

MediuMonotonie și convexitateAplicații ale derivatelorStudiul funcțiilor
Considerăm funcția f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R} definită prin f(x)=x3−3x2+4f(x) = x^3 - 3x^2 + 4. Determinați intervalele de monotonie și de convexitate ale funcției ff, precum și punctele de extrem și de inflexiune.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Calculăm derivata întâi: f′(x)=3x2−6xf'(x) = 3x^2 - 6x.
23 puncte
Rezolvăm f′(x)=0f'(x)=0 adică 3x2−6x=03x^2-6x=0 și obținem x=0x=0 și x=2x=2. Studiem semnul lui f′f' pe intervalele (−∞,0)(-\infty,0), (0,2)(0,2), (2,∞)(2,\infty) și deducem că ff este crescătoare pe (−∞,0]∪[2,∞)(-\infty,0] \cup [2,\infty) și descrescătoare pe [0,2][0,2]. Punctele x=0x=0 (maxim local) și x=2x=2 (minim local) sunt puncte de extrem.
32 puncte
Calculăm derivata a doua: f′′(x)=6x−6f''(x) = 6x - 6.
43 puncte
Rezolvăm f′′(x)=0f''(x)=0 adică 6x−6=06x-6=0 și obținem x=1x=1. Studiem semnul lui f′′f'' pe intervalele (−∞,1)(-\infty,1) și (1,∞)(1,\infty) și deducem că ff este concavă pe (−∞,1](-\infty,1] și convexă pe [1,∞)[1,\infty). Punctul x=1x=1 este punct de inflexiune.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Monotonie și convexitate

Ușor#1Monotonie și convexitateDerivate
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=−x(x−2)2y = -x(x - 2)^2.
Ușor#2Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=2x3+3x2−2y = 2x^3 + 3x^2 - 2.
Ușor#3Monotonie și convexitateDerivate
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y=23x3−x2−4x+5y = \frac{2}{3}x^3 - x^2 - 4x + 5.
Mediu#4Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y = x4−4x3−8x2+3x^4 - 4x^3 - 8x^2 + 3.
Vezi toate problemele de Monotonie și convexitate →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Monotonie și convexitate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.