MediuAplicații ale derivatelorClasa 11

Problemă rezolvată de Aplicații ale derivatelor

MediuAplicații ale derivatelorMonotonie și convexitateStudiul funcțiilor
Se consideră funcția f:(0,∞)→Rf: (0, \infty) \to \mathbb{R}, f(x)=x2ln⁡xf(x) = x^2 \ln x. a) Determinați intervalele de monotonie ale funcției ff și punctele de extrem local, dacă există. b) Studiați convexitatea și concavitatea funcției ff pe domeniul de definiție. c) Demonstrați că pentru orice x>0x > 0, are loc inegalitatea x2ln⁡x≥−12ex^2 \ln x \geq -\frac{1}{2e}, cu egalitate pentru x=1ex = \frac{1}{\sqrt{e}}.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Calculul derivatei întâi: f′(x)=2xln⁡x+x=x(2ln⁡x+1)f'(x) = 2x \ln x + x = x(2 \ln x + 1). Calculul derivatei a doua: f′′(x)=2ln⁡x+3f''(x) = 2 \ln x + 3.
23 puncte
Determinarea monotoniei: f′(x)=0f'(x)=0 dă x=1ex=\frac{1}{\sqrt{e}}. Studiul semnului: pentru x∈(0,1e)x \in (0, \frac{1}{\sqrt{e}}), f′(x)<0f'(x)<0, deci ff este strict descrescătoare; pentru x∈(1e,∞)x \in (\frac{1}{\sqrt{e}}, \infty), f′(x)>0f'(x)>0, deci ff este strict crescătoare. Punctul x=1ex=\frac{1}{\sqrt{e}} este minim local, cu valoarea f(1e)=−12ef\left(\frac{1}{\sqrt{e}}\right) = -\frac{1}{2e}.
32 puncte
Studiul convexității: f′′(x)=0f''(x)=0 dă x=1e3/2x=\frac{1}{e^{3/2}}. Pentru x∈(0,1e3/2)x \in (0, \frac{1}{e^{3/2}}), f′′(x)<0f''(x)<0, deci ff este concavă; pentru x∈(1e3/2,∞)x \in (\frac{1}{e^{3/2}}, \infty), f′′(x)>0f''(x)>0, deci ff este convexă. Punctul x=1e3/2x=\frac{1}{e^{3/2}} este de inflexiune.
43 puncte
Demonstrarea inegalității: Din studiul monotoniei, ff are minimul global min⁡f=−12e\min f = -\frac{1}{2e} atins în x=1ex=\frac{1}{\sqrt{e}}, deci f(x)≥−12ef(x) \geq -\frac{1}{2e} pentru orice x>0x>0, cu egalitate doar pentru x=1ex=\frac{1}{\sqrt{e}}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Aplicații ale derivatelor

Mediu#1Aplicații ale derivatelorMonotonie și convexitateMatematică aplicată
O companie produce și vinde un anumit produs. Funcția costului total este C(x)=0.2x2+30x+500C(x) = 0.2x^2 + 30x + 500, iar funcția prețului este p(x)=150−xp(x) = 150 - x, unde xx este numărul de unități produse și vândute. Determinați nivelul de producție care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Mediu#2Aplicații ale derivatelorMatematică aplicatăStudiul funcțiilor
O companie produce un anumit produs. Costul total de producție este dat de funcția C(x)=0.1x3−3x2+30x+100C(x) = 0.1x^3 - 3x^2 + 30x + 100, unde xx este numărul de unități produse. Prețul de vânzare pe unitate este p(x)=50−0.5xp(x) = 50 - 0.5x. Determinați cantitatea xx care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Ușor#3Aplicații ale derivatelorMatematică aplicatăStudiul funcțiilor
O firmă produce un produs, iar costul total de producție este dat de funcția C(x)=0.1x2+50x+1000C(x) = 0.1x^2 + 50x + 1000, unde xx este numărul de unități produse. Prețul de vânzare este p(x)=200−0.5xp(x) = 200 - 0.5x lei per unitate. Determinați numărul de unități care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Mediu#4Aplicații ale derivatelorMatematică aplicată
Un depozit are forma unui paralelipiped dreptunghic cu baza pătrată. Volumul depozitului trebuie să fie de 500 m³. Materialul pentru pereți costă 10 lei/m², iar pentru acoperiș costă 15 lei/m². Determinați dimensiunile depozitului care minimizează costul total de construcție.
Vezi toate problemele de Aplicații ale derivatelor →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Aplicații ale derivatelor cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.