MediuMonotonie și convexitateClasa 11

Problemă rezolvată de Monotonie și convexitate

MediuMonotonie și convexitateAplicații ale derivatelorDerivate
Se consideră funcția f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=e−x(x2+2x−3)f(x) = e^{-x} (x^2 + 2x - 3). a) Determinați intervalele de monotonie ale funcției ff. b) Găsiți intervalele pe care funcția este convexă sau concavă. c) Demonstrați că funcția are un punct de minim local și un punct de maxim local.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Calculul derivatei întâi: f′(x)=−e−x(x2+2x−3)+e−x(2x+2)=e−x(−x2+4)f'(x) = -e^{-x} (x^2 + 2x - 3) + e^{-x} (2x + 2) = e^{-x} (-x^2 + 4).
23 puncte
Rezolvarea ecuației f′(x)=0f'(x)=0: −x2+4=0-x^2 + 4 = 0, deci x=±2x = \pm 2. Studiul semnului lui f′(x)f'(x): pentru x∈(−∞,−2)x \in (-\infty, -2), f′(x)<0f'(x) < 0 (funcția este descrescătoare), pentru x∈(−2,2)x \in (-2, 2), f′(x)>0f'(x) > 0 (funcția este crescătoare), pentru x∈(2,∞)x \in (2, \infty), f′(x)<0f'(x) < 0 (funcția este descrescătoare).
32 puncte
Calculul derivatei a doua: f′′(x)=−e−x(−x2+4)+e−x(−2x)=e−x(x2+2x−4)f''(x) = -e^{-x} (-x^2 + 4) + e^{-x} (-2x) = e^{-x} (x^2 + 2x - 4).
42 puncte
Rezolvarea ecuației f′′(x)=0f''(x)=0: x2+2x−4=0x^2 + 2x - 4 = 0, cu soluțiile x=−1±5x = -1 \pm \sqrt{5}. Determinarea semnului lui f′′(x)f''(x): pentru x∈(−∞,−1−5)x \in (-\infty, -1-\sqrt{5}), f′′(x)>0f''(x) > 0 (convexă), pentru x∈(−1−5,−1+5)x \in (-1-\sqrt{5}, -1+\sqrt{5}), f′′(x)<0f''(x) < 0 (concavă), pentru x∈(−1+5,∞)x \in (-1+\sqrt{5}, \infty), f′′(x)>0f''(x) > 0 (convexă).
51 punct
Din studiul monotoniei, x=−2x=-2 este punct de minim local deoarece funcția trece din descrescătoare în crescătoare, și x=2x=2 este punct de maxim local deoarece funcția trece din crescătoare în descrescătoare.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Monotonie și convexitate

Ușor#1Monotonie și convexitateDerivate
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=−x(x−2)2y = -x(x - 2)^2.
Ușor#2Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=2x3+3x2−2y = 2x^3 + 3x^2 - 2.
Ușor#3Monotonie și convexitateDerivate
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y=23x3−x2−4x+5y = \frac{2}{3}x^3 - x^2 - 4x + 5.
Mediu#4Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y = x4−4x3−8x2+3x^4 - 4x^3 - 8x^2 + 3.
Vezi toate problemele de Monotonie și convexitate →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Monotonie și convexitate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.