MediuVectoriClasa 9

Problemă rezolvată de Vectori

MediuVectoriTrigonometrie
Fie vectorii a⃗\vec{a} și b⃗\vec{b} cu ∣a⃗∣=3|\vec{a}| = 3, ∣b⃗∣=4|\vec{b}| = 4, iar unghiul dintre ei este θ=60∘\theta = 60^\circ. Calculați ∣a⃗+b⃗∣|\vec{a} + \vec{b}| și ∣a⃗−b⃗∣|\vec{a} - \vec{b}|. Apoi, determinați măsura unghiului dintre vectorii a⃗+b⃗\vec{a} + \vec{b} și a⃗−b⃗\vec{a} - \vec{b}.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Folosim formula pentru modulul sumei: ∣a⃗+b⃗∣2=∣a⃗∣2+∣b⃗∣2+2∣a⃗∣∣b⃗∣cos⁡θ=32+42+2⋅3⋅4⋅cos⁡60∘=9+16+24⋅12=25+12=37|\vec{a} + \vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + 2|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta = 3^2 + 4^2 + 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot \cos 60^\circ = 9 + 16 + 24 \cdot \frac{1}{2} = 25 + 12 = 37, deci ∣a⃗+b⃗∣=37|\vec{a} + \vec{b}| = \sqrt{37}. |
23 puncte
Similar, ∣a⃗−b⃗∣2=∣a⃗∣2+∣b⃗∣2−2∣a⃗∣∣b⃗∣cos⁡θ=9+16−24⋅12=25−12=13|\vec{a} - \vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 - 2|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta = 9 + 16 - 24 \cdot \frac{1}{2} = 25 - 12 = 13, deci ∣a⃗−b⃗∣=13|\vec{a} - \vec{b}| = \sqrt{13}. |
32 puncte
Produsul scalar a⃗⋅b⃗=∣a⃗∣∣b⃗∣cos⁡θ=3⋅4⋅12=6\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta = 3 \cdot 4 \cdot \frac{1}{2} = 6. |
42 puncte
Pentru unghiul ϕ\phi dintre a⃗+b⃗\vec{a} + \vec{b} și a⃗−b⃗\vec{a} - \vec{b}, folosim cos⁡ϕ=(a⃗+b⃗)⋅(a⃗−b⃗)∣a⃗+b⃗∣∣a⃗−b⃗∣\cos \phi = \frac{(\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b})}{|\vec{a} + \vec{b}| |\vec{a} - \vec{b}|}. Calculăm (a⃗+b⃗)⋅(a⃗−b⃗)=a⃗⋅a⃗−a⃗⋅b⃗+b⃗⋅a⃗−b⃗⋅b⃗=∣a⃗∣2−∣b⃗∣2=9−16=−7(\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b}) = \vec{a} \cdot \vec{a} - \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{a} - \vec{b} \cdot \vec{b} = |\vec{a}|^2 - |\vec{b}|^2 = 9 - 16 = -7. Atunci cos⁡ϕ=−737⋅13=−7481\cos \phi = \frac{-7}{\sqrt{37} \cdot \sqrt{13}} = \frac{-7}{\sqrt{481}}, deci ϕ=arccos⁡(−7481)\phi = \arccos\left( \frac{-7}{\sqrt{481}} \right).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Vectori

Mediu#1VectoriGeometrie AnaliticăSisteme de Ecuații Neliniare
Punctul N se află pe malul unui râu lat de 11 km, iar viteza curentului este 11 km/h. Punctul M este pe malul opus, la cel puțin 33 km în aval față de N; distanța de-a lungul râului dintre M și N este s≥3s\ge3 km. Un pescar pleacă din M și merge pe mal spre N cu 4 km/h. În același timp, un barcagiu pleacă din N, traversează râul pe o dreaptă până îl găsește pe pescar și îl duce înapoi la N pe aceeași dreaptă. Barcagiu vâslește într-o apă curgătoare cu viteza în apă liniștită 44 km/h, iar durata totală a drumului până la întâlnire și întoarcerea la N este 9/89/8 h. Determinați distanța ss dintre M și N măsurată de-a lungul râului.
Ușor#2VectoriGeometrie Analitică
Fie punctele A(1,1)A(1,1), B(4,5)B(4,5), C(7,1)C(7,1). a) Calculați vectorii AB⃗\vec{AB} și AC⃗\vec{AC}. b) Arătați că ∣AB⃗∣=∣BC⃗∣|\vec{AB}| = |\vec{BC}|. c) Determinați aria triunghiului ABCABC.
Ușor#3VectoriNumere ComplexeTrigonometrie
Fie vectorii u⃗=2i⃗−3j⃗\vec{u} = 2\vec{i} - 3\vec{j} și v⃗=−i⃗+4j⃗\vec{v} = -\vec{i} + 4\vec{j}. a) Calculați u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v} și u⃗⋅v⃗\vec{u} \cdot \vec{v}. b) Exprimați acești vectori ca numere complexe zuz_u și zvz_v și verificați că zu+zvz_u + z_v corespunde cu u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v}. c) Aflați argumentul principal al lui zuz_u.
Ușor#4VectoriGeometrie AnaliticăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie vectorii a⃗=2i⃗+3j⃗\vec{a} = 2\vec{i} + 3\vec{j}, b⃗=−i⃗+4j⃗\vec{b} = -\vec{i} + 4\vec{j} și c⃗=ki⃗+j⃗\vec{c} = k\vec{i} + \vec{j}. Determinați valoarea lui kk pentru care vectorii a⃗+b⃗\vec{a} + \vec{b} și c⃗\vec{c} sunt perpendiculari. Apoi, calculați aria triunghiului format de vectorii a⃗\vec{a}, b⃗\vec{b} și originea sistemului de coordonate.
Vezi toate problemele de Vectori →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Vectori cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.