MediuMonotonie și convexitateClasa 11

Problemă rezolvată de Monotonie și convexitate

MediuMonotonie și convexitateAplicații ale derivatelorStudiul funcțiilor
Studiați monotonia și convexitatea funcției f:R→Rf: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=x3−3x2+2f(x) = x^3 - 3x^2 + 2. Apoi, folosind aceste proprietăți, determinați valoarea minimă a funcției pe intervalul [0,3][0,3].

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Se calculează derivata întâi: f′(x)=3x2−6xf'(x) = 3x^2 - 6x. Se rezolvă f′(x)=0f'(x)=0 și se obțin punctele critice x=0x=0 și x=2x=2.
23 puncte
Se studiază semnul derivatei întâi: pentru x∈(−∞,0)∪(2,∞)x \in (-\infty,0) \cup (2,\infty), f′(x)>0f'(x) > 0, deci ff este crescătoare; pentru x∈(0,2)x \in (0,2), f′(x)<0f'(x) < 0, deci ff este descrescătoare.
33 puncte
Se calculează derivata a doua: f′′(x)=6x−6f''(x) = 6x - 6. Se rezolvă f′′(x)=0f''(x)=0 și se obține x=1x=1. Pentru x<1x<1, f′′(x)<0f''(x) < 0, deci ff este concavă; pentru x>1x>1, f′′(x)>0f''(x) > 0, deci ff este convexă.
42 puncte
Pe intervalul [0,3][0,3], funcția este descrescătoare pe (0,2)(0,2) și crescătoare pe (2,3](2,3], astfel minimul este atins în x=2x=2. f(2)=23−3⋅22+2=8−12+2=−2f(2) = 2^3 - 3 \cdot 2^2 + 2 = 8 - 12 + 2 = -2. Se verifică și capetele: f(0)=2f(0)=2, f(3)=2f(3)=2, deci valoarea minimă este −2-2.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Monotonie și convexitate

Ușor#1Monotonie și convexitateDerivate
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=−x(x−2)2y = -x(x - 2)^2.
Ușor#2Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=2x3+3x2−2y = 2x^3 + 3x^2 - 2.
Ușor#3Monotonie și convexitateDerivate
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y=23x3−x2−4x+5y = \frac{2}{3}x^3 - x^2 - 4x + 5.
Mediu#4Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y = x4−4x3−8x2+3x^4 - 4x^3 - 8x^2 + 3.
Vezi toate problemele de Monotonie și convexitate →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Monotonie și convexitate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.