MediuMonotonie și convexitateClasa 11

Problemă rezolvată de Monotonie și convexitate

MediuMonotonie și convexitateAplicații ale derivatelorGeometrie Analitică
O cutie dreptunghiulară fără capac are volumul de 32 cm³. Baza cutiei este un pătrat. Determinați dimensiunile cutiei astfel încât suprafața totală să fie minimă. Verificați dacă funcția care descrie suprafața este convexă pe intervalul de definiție.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Definiți latura bazei pătrate ca x>0x > 0 și înălțimea cutiei ca hh, apoi exprimați volumul V=x2h=32V = x^2 h = 32 pentru a obține h=32x2h = \frac{32}{x^2} și suprafața totală S(x)=x2+4xh=x2+128xS(x) = x^2 + 4xh = x^2 + \frac{128}{x}.
23 puncte
Calculați derivata întâi S′(x)=2x−128x2S'(x) = 2x - \frac{128}{x^2}, determinați punctele critice rezolvând S′(x)=0S'(x) = 0 și verificați domeniul x>0x > 0.
32 puncte
Studiați semnul derivatei întâi pe intervalele (0,4)(0, 4) și (4,∞)(4, \infty) pentru a determina monotonie și confirmați că x=4x = 4 este punct de minim folosind criteriul derivatei întâi sau al doilea.
42 puncte
Calculați derivata a doua S′′(x)=2+256x3S''(x) = 2 + \frac{256}{x^3} și studiați semnul ei pe x>0x > 0 pentru a determina convexitatea funcției S(x)S(x).
51 punct
Dați dimensiunile cutiei: latura bazei x=4x = 4 cm și înălțimea h=2h = 2 cm, și concluzionați asupra convexității și minimului.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Monotonie și convexitate

Ușor#1Monotonie și convexitateDerivate
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=−x(x−2)2y = -x(x - 2)^2.
Ușor#2Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=2x3+3x2−2y = 2x^3 + 3x^2 - 2.
Ușor#3Monotonie și convexitateDerivate
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y=23x3−x2−4x+5y = \frac{2}{3}x^3 - x^2 - 4x + 5.
Mediu#4Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y = x4−4x3−8x2+3x^4 - 4x^3 - 8x^2 + 3.
Vezi toate problemele de Monotonie și convexitate →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Monotonie și convexitate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.