MediuVectoriClasa 11

Problemă rezolvată de Vectori

MediuVectoriMatriciAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Se consideră matricea M=(2−113)M = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} și vectorii u⃗=ai⃗+bj⃗\vec{u} = a\vec{i} + b\vec{j} și v⃗=ci⃗+dj⃗\vec{v} = c\vec{i} + d\vec{j} în plan. Știind că Mu⃗=v⃗M \vec{u} = \vec{v}, că u⃗⋅v⃗=8\vec{u} \cdot \vec{v} = 8, și că ∣u⃗∣=2|\vec{u}| = 2, determinați componentele lui u⃗\vec{u} și v⃗\vec{v}.

Rezolvare completă

10 puncte · 6 pași
12 puncte
Scriem ecuația Mu⃗=v⃗M \vec{u} = \vec{v}. Dacă u⃗=(a,b)\vec{u} = (a,b), atunci v⃗=(2a−b,a+3b)\vec{v} = (2a - b, a + 3b).
22 puncte
Scriem condiția u⃗⋅v⃗=8\vec{u} \cdot \vec{v} = 8, adică a(2a−b)+b(a+3b)=8a(2a - b) + b(a + 3b) = 8.
31 punct
Scriem condiția ∣u⃗∣=2|\vec{u}| = 2, adică a2+b2=4a^2 + b^2 = 4.
42 puncte
Simplificăm ecuația de la punctul 2: 2a2−ab+ab+3b2=2a2+3b2=82a^2 - ab + ab + 3b^2 = 2a^2 + 3b^2 = 8.
52 puncte
Rezolvăm sistemul: a2+b2=4a^2 + b^2 = 4 și 2a2+3b2=82a^2 + 3b^2 = 8. Obținem a2=4a^2 = 4, deci a=±2a = \pm 2, și b=0b = 0.
61 punct
Determinăm v⃗\vec{v} pentru fiecare caz: pentru u⃗=(2,0)\vec{u} = (2,0), v⃗=(4,2)\vec{v} = (4,2); pentru u⃗=(−2,0)\vec{u} = (-2,0), v⃗=(−4,−2)\vec{v} = (-4,-2).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Vectori

Mediu#1VectoriGeometrie AnaliticăSisteme de Ecuații Neliniare
Punctul N se află pe malul unui râu lat de 11 km, iar viteza curentului este 11 km/h. Punctul M este pe malul opus, la cel puțin 33 km în aval față de N; distanța de-a lungul râului dintre M și N este s≥3s\ge3 km. Un pescar pleacă din M și merge pe mal spre N cu 4 km/h. În același timp, un barcagiu pleacă din N, traversează râul pe o dreaptă până îl găsește pe pescar și îl duce înapoi la N pe aceeași dreaptă. Barcagiu vâslește într-o apă curgătoare cu viteza în apă liniștită 44 km/h, iar durata totală a drumului până la întâlnire și întoarcerea la N este 9/89/8 h. Determinați distanța ss dintre M și N măsurată de-a lungul râului.
Ușor#2VectoriGeometrie Analitică
Fie punctele A(1,1)A(1,1), B(4,5)B(4,5), C(7,1)C(7,1). a) Calculați vectorii AB⃗\vec{AB} și AC⃗\vec{AC}. b) Arătați că ∣AB⃗∣=∣BC⃗∣|\vec{AB}| = |\vec{BC}|. c) Determinați aria triunghiului ABCABC.
Ușor#3VectoriNumere ComplexeTrigonometrie
Fie vectorii u⃗=2i⃗−3j⃗\vec{u} = 2\vec{i} - 3\vec{j} și v⃗=−i⃗+4j⃗\vec{v} = -\vec{i} + 4\vec{j}. a) Calculați u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v} și u⃗⋅v⃗\vec{u} \cdot \vec{v}. b) Exprimați acești vectori ca numere complexe zuz_u și zvz_v și verificați că zu+zvz_u + z_v corespunde cu u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v}. c) Aflați argumentul principal al lui zuz_u.
Ușor#4VectoriGeometrie AnaliticăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie vectorii a⃗=2i⃗+3j⃗\vec{a} = 2\vec{i} + 3\vec{j}, b⃗=−i⃗+4j⃗\vec{b} = -\vec{i} + 4\vec{j} și c⃗=ki⃗+j⃗\vec{c} = k\vec{i} + \vec{j}. Determinați valoarea lui kk pentru care vectorii a⃗+b⃗\vec{a} + \vec{b} și c⃗\vec{c} sunt perpendiculari. Apoi, calculați aria triunghiului format de vectorii a⃗\vec{a}, b⃗\vec{b} și originea sistemului de coordonate.
Vezi toate problemele de Vectori →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Vectori cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.