MediuVectoriClasa 9

Problemă rezolvată de Vectori

MediuVectoriTrigonometrie
Fie vectorii u⃗=3i⃗+4j⃗\vec{u} = 3\vec{i} + 4\vec{j} și v⃗=i⃗−2j⃗\vec{v} = \vec{i} - 2\vec{j}. a) Calculați produsul scalar u⃗⋅v⃗\vec{u} \cdot \vec{v}. b) Determinați măsurile unghiurilor α\alpha și β\beta pe care vectorii u⃗\vec{u} și respectiv v⃗\vec{v} îi fac cu axa OxOx. c) Folosind identitatea trigonometrică cos⁡(α−β)=cos⁡αcos⁡β+sin⁡αsin⁡β\cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha \cos\beta + \sin\alpha \sin\beta, demonstrați că unghiul θ\theta dintre u⃗\vec{u} și v⃗\vec{v} satisface cos⁡θ=cos⁡(α−β)\cos\theta = \cos(\alpha - \beta).

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Produsul scalar: u⃗⋅v⃗=3⋅1+4⋅(−2)=3−8=−5\vec{u} \cdot \vec{v} = 3\cdot1 + 4\cdot(-2) = 3 - 8 = -5.
23 puncte
Unghiurile cu axa OxOx: pentru u⃗\vec{u}, tan⁡α=43⇒α=arctan⁡(43)\tan\alpha = \frac{4}{3} \Rightarrow \alpha = \arctan\left(\frac{4}{3}\right); pentru v⃗\vec{v}, tan⁡β=−21=−2⇒β=arctan⁡(−2)\tan\beta = \frac{-2}{1} = -2 \Rightarrow \beta = \arctan(-2). Se pot lua valori principale.
34 puncte
Demonstrație: cos⁡α=35\cos\alpha = \frac{3}{5}, sin⁡α=45\sin\alpha = \frac{4}{5} (deoarece ∣u⃗∣=5|\vec{u}| = 5); cos⁡β=15\cos\beta = \frac{1}{\sqrt{5}}, sin⁡β=−25\sin\beta = \frac{-2}{\sqrt{5}} (deoarece ∣v⃗∣=5|\vec{v}| = \sqrt{5}). Atunci cos⁡(α−β)=cos⁡αcos⁡β+sin⁡αsin⁡β=35⋅15+45⋅−25=3−855=−555=−15\cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha \cos\beta + \sin\alpha \sin\beta = \frac{3}{5} \cdot \frac{1}{\sqrt{5}} + \frac{4}{5} \cdot \frac{-2}{\sqrt{5}} = \frac{3 - 8}{5\sqrt{5}} = \frac{-5}{5\sqrt{5}} = \frac{-1}{\sqrt{5}}. Pe de altă parte, cos⁡θ=u⃗⋅v⃗∣u⃗∣∣v⃗∣=−55⋅5=−15\cos\theta = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| |\vec{v}|} = \frac{-5}{5 \cdot \sqrt{5}} = \frac{-1}{\sqrt{5}}, deci cos⁡θ=cos⁡(α−β)\cos\theta = \cos(\alpha - \beta).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Vectori

Mediu#1VectoriGeometrie AnaliticăSisteme de Ecuații Neliniare
Punctul N se află pe malul unui râu lat de 11 km, iar viteza curentului este 11 km/h. Punctul M este pe malul opus, la cel puțin 33 km în aval față de N; distanța de-a lungul râului dintre M și N este s≥3s\ge3 km. Un pescar pleacă din M și merge pe mal spre N cu 4 km/h. În același timp, un barcagiu pleacă din N, traversează râul pe o dreaptă până îl găsește pe pescar și îl duce înapoi la N pe aceeași dreaptă. Barcagiu vâslește într-o apă curgătoare cu viteza în apă liniștită 44 km/h, iar durata totală a drumului până la întâlnire și întoarcerea la N este 9/89/8 h. Determinați distanța ss dintre M și N măsurată de-a lungul râului.
Ușor#2VectoriGeometrie Analitică
Fie punctele A(1,1)A(1,1), B(4,5)B(4,5), C(7,1)C(7,1). a) Calculați vectorii AB⃗\vec{AB} și AC⃗\vec{AC}. b) Arătați că ∣AB⃗∣=∣BC⃗∣|\vec{AB}| = |\vec{BC}|. c) Determinați aria triunghiului ABCABC.
Ușor#3VectoriNumere ComplexeTrigonometrie
Fie vectorii u⃗=2i⃗−3j⃗\vec{u} = 2\vec{i} - 3\vec{j} și v⃗=−i⃗+4j⃗\vec{v} = -\vec{i} + 4\vec{j}. a) Calculați u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v} și u⃗⋅v⃗\vec{u} \cdot \vec{v}. b) Exprimați acești vectori ca numere complexe zuz_u și zvz_v și verificați că zu+zvz_u + z_v corespunde cu u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v}. c) Aflați argumentul principal al lui zuz_u.
Ușor#4VectoriGeometrie AnaliticăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie vectorii a⃗=2i⃗+3j⃗\vec{a} = 2\vec{i} + 3\vec{j}, b⃗=−i⃗+4j⃗\vec{b} = -\vec{i} + 4\vec{j} și c⃗=ki⃗+j⃗\vec{c} = k\vec{i} + \vec{j}. Determinați valoarea lui kk pentru care vectorii a⃗+b⃗\vec{a} + \vec{b} și c⃗\vec{c} sunt perpendiculari. Apoi, calculați aria triunghiului format de vectorii a⃗\vec{a}, b⃗\vec{b} și originea sistemului de coordonate.
Vezi toate problemele de Vectori →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Vectori cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.