MediuMonotonie și convexitateClasa 11

Problemă rezolvată de Monotonie și convexitate

MediuMonotonie și convexitateAplicații ale derivatelorStudiul funcțiilor
Fie funcția f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x3−3x2+4f(x) = x^3 - 3x^2 + 4. a) Studiați monotonia și convexitatea funcției ff. b) Determinați punctele de extrem local și punctele de inflexiune. c) Arătați că ecuația f(x)=af(x) = a are trei soluții reale distincte pentru a∈(2,4)a \in (2, 4).

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Calculăm derivata întâi: f′(x)=3x2−6xf'(x) = 3x^2 - 6x. Studiem semnul: f′(x)=3x(x−2)=0f'(x) = 3x(x-2) = 0 pentru x=0x=0 și x=2x=2. Pentru x∈(−∞,0)∪(2,∞)x \in (-\infty, 0) \cup (2, \infty), f′(x)>0f'(x) > 0, deci ff este crescătoare; pentru x∈(0,2)x \in (0,2), f′(x)<0f'(x) < 0, deci ff este descrescătoare. Monotonia: crescătoare pe (−∞,0]∪[2,∞)(-\infty, 0] \cup [2, \infty), descrescătoare pe [0,2][0,2].
23 puncte
Calculăm derivata a doua: f′′(x)=6x−6f''(x) = 6x - 6. Studiem semnul: f′′(x)=6(x−1)=0f''(x) = 6(x-1) = 0 pentru x=1x=1. Pentru x>1x > 1, f′′(x)>0f''(x) > 0, deci ff este convexă; pentru x<1x < 1, f′′(x)<0f''(x) < 0, deci ff este concavă. Convexitatea: convexă pe [1,∞)[1, \infty), concavă pe (−∞,1](-\infty, 1].
32 puncte
Punctele critice din derivata întâi: x=0x=0 și x=2x=2. La x=0x=0, derivata întâi trece de la pozitiv la negativ (sau din monotonia: crescătoare, apoi descrescătoare), deci x=0x=0 este punct de maxim local, f(0)=4f(0)=4. La x=2x=2, derivata întâi trece de la negativ la pozitiv, deci x=2x=2 este punct de minim local, f(2)=0f(2)=0. Punctul de inflexiune este unde derivata a doua își schimbă semnul: x=1x=1, f(1)=2f(1)=2.
42 puncte
Pentru a∈(2,4)a \in (2,4), observăm că ff este continuă și are valorile: f(0)=4f(0)=4, f(2)=0f(2)=0, iar f(1)=2f(1)=2. Folosind monotonia: pe (−∞,0](-\infty,0], ff este crescătoare de la −∞-\infty la 4, deci există un unic x1<0x_1 < 0 cu f(x1)=af(x_1)=a; pe [0,2][0,2], ff este descrescătoare de la 4 la 0, deci există un unic x2∈(0,2)x_2 \in (0,2) cu f(x2)=af(x_2)=a; pe [2,∞)[2,\infty), ff este crescătoare de la 0 la ∞\infty, deci există un unic x3>2x_3 > 2 cu f(x3)=af(x_3)=a. Soluțiile sunt distincte datorită monotoniei strict pe intervale.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Monotonie și convexitate

Ușor#1Monotonie și convexitateDerivate
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=−x(x−2)2y = -x(x - 2)^2.
Ușor#2Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=2x3+3x2−2y = 2x^3 + 3x^2 - 2.
Ușor#3Monotonie și convexitateDerivate
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y=23x3−x2−4x+5y = \frac{2}{3}x^3 - x^2 - 4x + 5.
Mediu#4Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y = x4−4x3−8x2+3x^4 - 4x^3 - 8x^2 + 3.
Vezi toate problemele de Monotonie și convexitate →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Monotonie și convexitate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.