MediuMonotonie și convexitateClasa 11

Problemă rezolvată de Monotonie și convexitate

MediuMonotonie și convexitateAplicații ale derivatelorStudiul funcțiilor
Fie funcția f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x3−3ax2+3a2x+bf(x) = x^3 - 3ax^2 + 3a^2x + b, unde aa și bb sunt numere reale. a) Studiați monotonia și convexitatea funcției ff în funcție de parametrul aa. b) Pentru a=2a=2 și b=1b=1, determinați ecuația tangentei la graficul funcției în punctul de abscisă x=1x=1 și verificați dacă această tangentă este paralelă cu dreapta y=3x−4y=3x-4. Calculați apoi distanța de la originea axelor la această tangentă.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Calculăm derivata întâi f′(x)=3x2−6ax+3a2f'(x) = 3x^2 - 6ax + 3a^2 și derivata a doua f′′(x)=6x−6af''(x) = 6x - 6a.
23 puncte
Monotonia: f′(x)=3(x−a)2≥0f'(x) = 3(x-a)^2 \geq 0 pentru orice x∈Rx \in \mathbb{R}, deci funcția ff este crescătoare pe R\mathbb{R} pentru orice aa. Convexitatea: f′′(x)=6(x−a)f''(x) = 6(x-a), deci f′′(x)>0f''(x) > 0 pentru x>ax > a și f′′(x)<0f''(x) < 0 pentru x<ax < a. Astfel, ff este convexă pe [a,∞)[a, \infty) și concavă pe (−∞,a](-\infty, a].
32 puncte
Pentru a=2a=2 și b=1b=1, avem f(1)=13−3⋅2⋅12+3⋅22⋅1+1=8f(1) = 1^3 - 3 \cdot 2 \cdot 1^2 + 3 \cdot 2^2 \cdot 1 + 1 = 8 și f′(1)=3(1−2)2=3f'(1) = 3(1-2)^2 = 3. Ecuația tangentei: y−8=3(x−1)y-8=3(x-1), adică y=3x+5y=3x+5.
42 puncte
Tangenta are panta 3, la fel ca dreapta y=3x−4y=3x-4, deci sunt paralele. Distanța de la (0,0)(0,0) la dreapta 3x−y+5=03x-y+5=0 este d=∣5∣32+(−1)2=510d = \frac{|5|}{\sqrt{3^2+(-1)^2}} = \frac{5}{\sqrt{10}}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Monotonie și convexitate

Ușor#1Monotonie și convexitateDerivate
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=−x(x−2)2y = -x(x - 2)^2.
Ușor#2Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=2x3+3x2−2y = 2x^3 + 3x^2 - 2.
Ușor#3Monotonie și convexitateDerivate
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y=23x3−x2−4x+5y = \frac{2}{3}x^3 - x^2 - 4x + 5.
Mediu#4Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y = x4−4x3−8x2+3x^4 - 4x^3 - 8x^2 + 3.
Vezi toate problemele de Monotonie și convexitate →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Monotonie și convexitate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.