MediuMonotonie și convexitateClasa 11

Problemă rezolvată de Monotonie și convexitate

MediuMonotonie și convexitateAplicații ale derivatelorMatematică aplicată
Costul total de producție pentru xx unități ale unui produs este dat de funcția C(x)=0.1x3−3x2+30x+100C(x) = 0.1x^3 - 3x^2 + 30x + 100, cu x≥0x \geq 0. Determinați pentru ce valori ale lui xx costul marginal este descrescător și convex. Apoi, găsiți nivelul de producție care minimizează costul mediu.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Costul marginal este C′(x)=0.3x2−6x+30C'(x) = 0.3x^2 - 6x + 30. Pentru a studia monotonia, calculați derivata lui C′(x)C'(x), adică C′′(x)=0.6x−6C''(x) = 0.6x - 6. C′(x)C'(x) este descrescător când C′′(x)<0C''(x) < 0, deci pentru x<10x < 10. Intervalele: costul marginal este descrescător pe [0,10)[0,10).
23 puncte
Convexitatea costului marginal se referă la semnul derivatei a doua a costului marginal, adică C′′′(x)=0.6C'''(x) = 0.6. Deoarece C′′′(x)>0C'''(x) > 0 pentru orice x≥0x \geq 0, costul marginal este convex pe întreg domeniul [0,∞)[0,\infty).
34 puncte
Costul mediu este A(x)=C(x)x=0.1x2−3x+30+100xA(x) = \frac{C(x)}{x} = 0.1x^2 - 3x + 30 + \frac{100}{x} pentru x>0x > 0. Calculați derivata A′(x)=0.2x−3−100x2A'(x) = 0.2x - 3 - \frac{100}{x^2}. Setați A′(x)=0A'(x) = 0 pentru a găsi punctele critice: 0.2x−3−100x2=00.2x - 3 - \frac{100}{x^2} = 0. Înmulțiți cu x2x^2: 0.2x3−3x2−100=00.2x^3 - 3x^2 - 100 = 0. Rezolvați această ecuație, de exemplu prin metode numerice sau testarea valorilor: se obține x≈11.83x \approx 11.83 (sau exact dacă se factorizează). Verificați semnul derivatei: pentru x<11.83x < 11.83, A′(x)<0A'(x) < 0 (funcția descrescătoare), pentru x>11.83x > 11.83, A′(x)>0A'(x) > 0 (funcția crescătoare), deci x≈11.83x \approx 11.83 este punct de minim. Nivelul de producție care minimizează costul mediu este x≈11.83x \approx 11.83 unități.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Monotonie și convexitate

Ușor#1Monotonie și convexitateDerivate
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=−x(x−2)2y = -x(x - 2)^2.
Ușor#2Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=2x3+3x2−2y = 2x^3 + 3x^2 - 2.
Ușor#3Monotonie și convexitateDerivate
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y=23x3−x2−4x+5y = \frac{2}{3}x^3 - x^2 - 4x + 5.
Mediu#4Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y = x4−4x3−8x2+3x^4 - 4x^3 - 8x^2 + 3.
Vezi toate problemele de Monotonie și convexitate →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Monotonie și convexitate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.