MediuMonotonie și convexitateClasa 11

Problemă rezolvată de Monotonie și convexitate

MediuMonotonie și convexitateAplicații ale derivatelorStudiul funcțiilor
Se consideră funcția f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x3−3x2+4f(x) = x^3 - 3x^2 + 4. a) Studiați monotonia și convexitatea funcției ff. b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției ff în punctul de abscisă x=1x=1. c) Arătați că funcția ff are un punct de inflexiune și determinați coordonatele acestuia.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Se calculează derivata întâi: f′(x)=3x2−6xf'(x) = 3x^2 - 6x. Se rezolvă f′(x)=0f'(x) = 0, obținând x=0x=0 și x=2x=2. Se studiază semnul derivatei: f′(x)>0f'(x) > 0 pentru x∈(−∞,0)∪(2,∞)x \in (-\infty,0) \cup (2,\infty) și f′(x)<0f'(x) < 0 pentru x∈(0,2)x \in (0,2). Astfel, ff este crescătoare pe (−∞,0]∪[2,∞)(-\infty,0] \cup [2,\infty) și descrescătoare pe [0,2][0,2].
23 puncte
Se calculează derivata a doua: f′′(x)=6x−6f''(x) = 6x - 6. Se rezolvă f′′(x)=0f''(x) = 0, obținând x=1x=1. Se studiază semnul: f′′(x)<0f''(x) < 0 pentru x<1x < 1 și f′′(x)>0f''(x) > 0 pentru x>1x > 1. Deci, ff este concavă pe (−∞,1](-\infty,1] și convexă pe [1,∞)[1,\infty).
32 puncte
Ecuația tangentei: y−f(1)=f′(1)(x−1)y - f(1) = f'(1)(x-1). Se calculează f(1)=2f(1)=2 și f′(1)=−3f'(1)=-3, deci y−2=−3(x−1)y - 2 = -3(x-1), adică y=−3x+5y = -3x + 5.
42 puncte
Punctul de inflexiune este unde f′′(x)=0f''(x)=0 și derivata a doua își schimbă semnul, adică la x=1x=1. Coordonatele sunt (1,f(1))=(1,2)(1, f(1)) = (1,2).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Monotonie și convexitate

Ușor#1Monotonie și convexitateDerivate
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=−x(x−2)2y = -x(x - 2)^2.
Ușor#2Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=2x3+3x2−2y = 2x^3 + 3x^2 - 2.
Ușor#3Monotonie și convexitateDerivate
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y=23x3−x2−4x+5y = \frac{2}{3}x^3 - x^2 - 4x + 5.
Mediu#4Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y = x4−4x3−8x2+3x^4 - 4x^3 - 8x^2 + 3.
Vezi toate problemele de Monotonie și convexitate →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Monotonie și convexitate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.