MediuMonotonie și convexitateClasa 11

Problemă rezolvată de Monotonie și convexitate

MediuMonotonie și convexitateAplicații ale derivatelorStudiul funcțiilor
Se consideră funcția f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x3−3x2+4f(x) = x^3 - 3x^2 + 4. Determinați intervalele de monotonie și de convexitate/concavitate ale funcției ff. Apoi, folosind aceste rezultate, demonstrați că ecuația f(x)=af(x) = a are trei soluții reale distincte pentru orice a∈(2,4)a \in (2, 4).

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Calculați f′(x)=3x2−6xf'(x) = 3x^2 - 6x și f′′(x)=6x−6f''(x) = 6x - 6.
23 puncte
Studiați semnul derivatei întâi: f′(x)=3x(x−2)f'(x) = 3x(x-2). Intervalele de monotonie: ff este strict crescătoare pe (−∞,0](-\infty, 0] și pe [2,∞)[2, \infty), iar strict descrescătoare pe [0,2][0,2].
33 puncte
Studiați semnul derivatei a doua: f′′(x)=6(x−1)f''(x) = 6(x-1). Funcția este convexă pe [1,∞)[1, \infty) și concavă pe (−∞,1](-\infty, 1].
42 puncte
Din monotonia și valorile f(0)=4f(0)=4, f(2)=0f(2)=0, și limitele la infinit, pentru a∈(2,4)a \in (2,4), ecuația f(x)=af(x)=a are o soluție în (−∞,0)(-\infty,0), una în (0,2)(0,2) și una în (2,∞)(2,\infty), deci trei soluții distincte. Total: 10 puncte.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Monotonie și convexitate

Ușor#1Monotonie și convexitateDerivate
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=−x(x−2)2y = -x(x - 2)^2.
Ușor#2Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=2x3+3x2−2y = 2x^3 + 3x^2 - 2.
Ușor#3Monotonie și convexitateDerivate
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y=23x3−x2−4x+5y = \frac{2}{3}x^3 - x^2 - 4x + 5.
Mediu#4Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y = x4−4x3−8x2+3x^4 - 4x^3 - 8x^2 + 3.
Vezi toate problemele de Monotonie și convexitate →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Monotonie și convexitate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.