MediuMonotonie și convexitateClasa 11

Problemă rezolvată de Monotonie și convexitate

MediuMonotonie și convexitateAplicații ale derivatelorLogaritmi
Fie funcția f:(0,∞)→Rf: (0, \infty) \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=x2ln⁡xf(x) = x^2 \ln x. a) Studiați monotonia și convexitatea funcției ff. b) Demonstrați că f(x)≥−12ef(x) \geq -\frac{1}{2e} pentru orice x>0x > 0. c) Calculați limita lim⁡x→0+f(x)\lim_{x \to 0^+} f(x).

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Calculul derivatei întâi: f′(x)=2xln⁡x+xf'(x) = 2x \ln x + x. Rezolvarea ecuației f′(x)=0f'(x) = 0 dă x=e−12x = e^{-\frac{1}{2}}.
22 puncte
Studiul semnului lui f′(x)f'(x): pe (0,e−12)(0, e^{-\frac{1}{2}}), f′(x)<0f'(x) < 0 deci ff este strict descrescătoare; pe (e−12,∞)(e^{-\frac{1}{2}}, \infty), f′(x)>0f'(x) > 0 deci ff este strict crescătoare.
32 puncte
Calculul derivatei a doua: f′′(x)=2ln⁡x+3f''(x) = 2 \ln x + 3. Rezolvarea ecuației f′′(x)=0f''(x) = 0 dă x=e−32x = e^{-\frac{3}{2}}. Pe (0,e−32)(0, e^{-\frac{3}{2}}), f′′(x)<0f''(x) < 0 deci ff este concavă; pe (e−32,∞)(e^{-\frac{3}{2}}, \infty), f′′(x)>0f''(x) > 0 deci ff este convexă.
42 puncte
Valoarea minimă a funcției este în x=e−12x = e^{-\frac{1}{2}}, f(e−12)=−12ef(e^{-\frac{1}{2}}) = -\frac{1}{2e}. Deoarece ff este descrescătoare pe (0,e−12)(0, e^{-\frac{1}{2}}) și crescătoare pe (e−12,∞)(e^{-\frac{1}{2}}, \infty), rezultă că f(x)≥−12ef(x) \geq -\frac{1}{2e} pentru orice x>0x > 0.
52 puncte
Calculul limitei: lim⁡x→0+x2ln⁡x=lim⁡x→0+ln⁡x1/x2\lim_{x \to 0^+} x^2 \ln x = \lim_{x \to 0^+} \frac{\ln x}{1/x^2}. Aplicând regula lui l'Hôpital, se obține lim⁡x→0+1/x−2/x3=lim⁡x→0+−x22=0\lim_{x \to 0^+} \frac{1/x}{-2/x^3} = \lim_{x \to 0^+} -\frac{x^2}{2} = 0.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Monotonie și convexitate

Ușor#1Monotonie și convexitateDerivate
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=−x(x−2)2y = -x(x - 2)^2.
Ușor#2Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=2x3+3x2−2y = 2x^3 + 3x^2 - 2.
Ușor#3Monotonie și convexitateDerivate
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y=23x3−x2−4x+5y = \frac{2}{3}x^3 - x^2 - 4x + 5.
Mediu#4Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y = x4−4x3−8x2+3x^4 - 4x^3 - 8x^2 + 3.
Vezi toate problemele de Monotonie și convexitate →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Monotonie și convexitate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.