MediuVectoriClasa 9

Problemă rezolvată de Vectori

MediuVectoriProgresii AritmeticeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Se consideră vectorii u⃗=ai⃗+bj⃗\vec{u} = a\vec{i} + b\vec{j} și v⃗=ci⃗+dj⃗\vec{v} = c\vec{i} + d\vec{j}, unde numerele a,b,c,da, b, c, d sunt în progresie aritmetică. Știind că u⃗+v⃗=5i⃗−j⃗\vec{u} + \vec{v} = 5\vec{i} - \vec{j} și u⃗⋅v⃗=10\vec{u} \cdot \vec{v} = 10, determinați vectorii u⃗\vec{u} și v⃗\vec{v}.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Scriem condiția de progresie aritmetică: fie a,b,c,da, b, c, d în progresie aritmetică cu rația rr, deci b=a+rb = a + r, c=a+2rc = a + 2r, d=a+3rd = a + 3r.
22 puncte
Din u⃗+v⃗=5i⃗−j⃗\vec{u} + \vec{v} = 5\vec{i} - \vec{j}, obținem a+c=5a + c = 5 și b+d=−1b + d = -1.
32 puncte
Din u⃗⋅v⃗=10\vec{u} \cdot \vec{v} = 10, obținem ac+bd=10ac + bd = 10.
42 puncte
Înlocuim expresiile din progresia aritmetică în ecuațiile de la pasul 2 și 3, obținând un sistem de ecuații în aa și rr: a+(a+2r)=5a + (a + 2r) = 5 și (a+r)+(a+3r)=−1(a + r) + (a + 3r) = -1 pentru sume, și a(a+2r)+(a+r)(a+3r)=10a(a + 2r) + (a + r)(a + 3r) = 10 pentru produsul scalar.
52 puncte
Rezolvăm sistemul, de exemplu din primele două ecuații găsim aa și rr, apoi verificăm în a treia, și determinăm b,c,db, c, d, exprimând vectorii u⃗\vec{u} și v⃗\vec{v}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Vectori

Mediu#1VectoriGeometrie AnaliticăSisteme de Ecuații Neliniare
Punctul N se află pe malul unui râu lat de 11 km, iar viteza curentului este 11 km/h. Punctul M este pe malul opus, la cel puțin 33 km în aval față de N; distanța de-a lungul râului dintre M și N este s≥3s\ge3 km. Un pescar pleacă din M și merge pe mal spre N cu 4 km/h. În același timp, un barcagiu pleacă din N, traversează râul pe o dreaptă până îl găsește pe pescar și îl duce înapoi la N pe aceeași dreaptă. Barcagiu vâslește într-o apă curgătoare cu viteza în apă liniștită 44 km/h, iar durata totală a drumului până la întâlnire și întoarcerea la N este 9/89/8 h. Determinați distanța ss dintre M și N măsurată de-a lungul râului.
Ușor#2VectoriGeometrie Analitică
Fie punctele A(1,1)A(1,1), B(4,5)B(4,5), C(7,1)C(7,1). a) Calculați vectorii AB⃗\vec{AB} și AC⃗\vec{AC}. b) Arătați că ∣AB⃗∣=∣BC⃗∣|\vec{AB}| = |\vec{BC}|. c) Determinați aria triunghiului ABCABC.
Ușor#3VectoriNumere ComplexeTrigonometrie
Fie vectorii u⃗=2i⃗−3j⃗\vec{u} = 2\vec{i} - 3\vec{j} și v⃗=−i⃗+4j⃗\vec{v} = -\vec{i} + 4\vec{j}. a) Calculați u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v} și u⃗⋅v⃗\vec{u} \cdot \vec{v}. b) Exprimați acești vectori ca numere complexe zuz_u și zvz_v și verificați că zu+zvz_u + z_v corespunde cu u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v}. c) Aflați argumentul principal al lui zuz_u.
Ușor#4VectoriGeometrie AnaliticăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie vectorii a⃗=2i⃗+3j⃗\vec{a} = 2\vec{i} + 3\vec{j}, b⃗=−i⃗+4j⃗\vec{b} = -\vec{i} + 4\vec{j} și c⃗=ki⃗+j⃗\vec{c} = k\vec{i} + \vec{j}. Determinați valoarea lui kk pentru care vectorii a⃗+b⃗\vec{a} + \vec{b} și c⃗\vec{c} sunt perpendiculari. Apoi, calculați aria triunghiului format de vectorii a⃗\vec{a}, b⃗\vec{b} și originea sistemului de coordonate.
Vezi toate problemele de Vectori →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Vectori cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.