MediuAplicații ale derivatelorClasa 11

Problemă rezolvată de Aplicații ale derivatelor

MediuAplicații ale derivatelorMonotonie și convexitateMatematică aplicată
O cutie cu baza pătrată are volumul fixat la 32 cm³. Costul materialului pentru baze este de 1 u.m. pe cm², iar pentru fețele laterale este de 0.5 u.m. pe cm². Să se determine dimensiunile cutiei care minimizează costul total de producție. În plus, să se studieze monotonia și convexitatea funcției cost C(x)=2x2+64xC(x) = 2x^2 + \frac{64}{x}, unde xx este latura bazei.

Rezolvare completă

10 puncte · 7 pași
11 punct
Exprimă înălțimea h=32x2h = \frac{32}{x^2} din volumul V=x2h=32V = x^2 h = 32.
21 punct
Scrie funcția cost C(x)=2x2+64xC(x) = 2x^2 + \frac{64}{x}.
32 puncte
Calculează C′(x)=4x−64x2C'(x) = 4x - \frac{64}{x^2} și C′′(x)=4+128x3C''(x) = 4 + \frac{128}{x^3}.
42 puncte
Determină punctul critic: C′(x)=0⇒4x=64x2⇒x3=16⇒x=163C'(x)=0 \Rightarrow 4x = \frac{64}{x^2} \Rightarrow x^3 = 16 \Rightarrow x = \sqrt[3]{16}.
52 puncte
Analizează semnul lui C′(x)C'(x): pentru x<163x < \sqrt[3]{16}, C′(x)<0C'(x) < 0 deci CC descrescătoare; pentru x>163x > \sqrt[3]{16}, C′(x)>0C'(x) > 0 deci CC crescătoare.
61 punct
Analizează semnul lui C′′(x)C''(x): pentru x>0x>0, C′′(x)>0C''(x) > 0 deci CC convexă pe (0,∞)(0, \infty).
71 punct
Concluzie: la x=163x = \sqrt[3]{16}, CC are minim global, iar dimensiunile sunt x=163x = \sqrt[3]{16} cm și h=32(163)2=223h = \frac{32}{(\sqrt[3]{16})^2} = 2\sqrt[3]{2} cm.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Aplicații ale derivatelor

Mediu#1Aplicații ale derivatelorMonotonie și convexitateMatematică aplicată
O companie produce și vinde un anumit produs. Funcția costului total este C(x)=0.2x2+30x+500C(x) = 0.2x^2 + 30x + 500, iar funcția prețului este p(x)=150−xp(x) = 150 - x, unde xx este numărul de unități produse și vândute. Determinați nivelul de producție care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Mediu#2Aplicații ale derivatelorMatematică aplicatăStudiul funcțiilor
O companie produce un anumit produs. Costul total de producție este dat de funcția C(x)=0.1x3−3x2+30x+100C(x) = 0.1x^3 - 3x^2 + 30x + 100, unde xx este numărul de unități produse. Prețul de vânzare pe unitate este p(x)=50−0.5xp(x) = 50 - 0.5x. Determinați cantitatea xx care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Ușor#3Aplicații ale derivatelorMatematică aplicatăStudiul funcțiilor
O firmă produce un produs, iar costul total de producție este dat de funcția C(x)=0.1x2+50x+1000C(x) = 0.1x^2 + 50x + 1000, unde xx este numărul de unități produse. Prețul de vânzare este p(x)=200−0.5xp(x) = 200 - 0.5x lei per unitate. Determinați numărul de unități care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Mediu#4Aplicații ale derivatelorMatematică aplicată
Un depozit are forma unui paralelipiped dreptunghic cu baza pătrată. Volumul depozitului trebuie să fie de 500 m³. Materialul pentru pereți costă 10 lei/m², iar pentru acoperiș costă 15 lei/m². Determinați dimensiunile depozitului care minimizează costul total de construcție.
Vezi toate problemele de Aplicații ale derivatelor →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Aplicații ale derivatelor cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.