MediuMonotonie și convexitateClasa 11

Problemă rezolvată de Monotonie și convexitate

MediuMonotonie și convexitateAplicații ale derivatelorLogaritmi
Se consideră funcția f:(0,∞)→Rf: (0, \infty) \to \mathbb{R}, f(x)=xln⁡x−x+1f(x) = x \ln x - x + 1. a) Studiați monotonie și convexitatea funcției ff. b) Demonstrați că pentru orice x>0x > 0, x≠1x \neq 1, are loc inegalitatea xln⁡x>x−1x \ln x > x - 1.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Determinăm domeniul de definiție (0,∞)(0, \infty) și calculăm derivata întâi: f′(x)=ln⁡x+1−1=ln⁡xf'(x) = \ln x + 1 - 1 = \ln x.
23 puncte
Studiem semnul derivatei întâi: f′(x)>0f'(x) > 0 pentru x>1x > 1, f′(x)<0f'(x) < 0 pentru 0<x<10 < x < 1, deci ff este descrescătoare pe (0,1](0,1] și crescătoare pe [1,∞)[1,\infty).
32 puncte
Calculăm derivata a doua: f′′(x)=1x>0f''(x) = \frac{1}{x} > 0 pentru x>0x > 0, deci ff este convexă pe (0,∞)(0,\infty).
43 puncte
Din studiul monotoniei, ff are minim global în x=1x=1, cu f(1)=0f(1)=0. Pentru x≠1x \neq 1, avem f(x)>f(1)=0f(x) > f(1) = 0, adică xln⁡x−x+1>0x \ln x - x + 1 > 0, de unde rezultă xln⁡x>x−1x \ln x > x - 1.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Monotonie și convexitate

Ușor#1Monotonie și convexitateDerivate
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=−x(x−2)2y = -x(x - 2)^2.
Ușor#2Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=2x3+3x2−2y = 2x^3 + 3x^2 - 2.
Ușor#3Monotonie și convexitateDerivate
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y=23x3−x2−4x+5y = \frac{2}{3}x^3 - x^2 - 4x + 5.
Mediu#4Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y = x4−4x3−8x2+3x^4 - 4x^3 - 8x^2 + 3.
Vezi toate problemele de Monotonie și convexitate →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Monotonie și convexitate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.