MediuVectoriClasa 11

Problemă rezolvată de Vectori

MediuVectoriSisteme de Ecuații Liniare
Se consideră vectorii u⃗=(1,2,3)\vec{u} = (1,2,3), v⃗=(2,−1,1)\vec{v} = (2,-1,1) și w⃗=(0,3,k)\vec{w} = (0,3,k) în spațiul R3\mathbb{R}^3. Determinați k∈Rk \in \mathbb{R} astfel încât vectorii să fie liniar dependenți, și rezolvați sistemul de ecuații liniare care rezultă din condiția de dependență liniară.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Condiția de dependență liniară: există scalari α,β,γ\alpha, \beta, \gamma nu toți nuli astfel încât αu⃗+βv⃗+γw⃗=0⃗\alpha \vec{u} + \beta \vec{v} + \gamma \vec{w} = \vec{0}.
23 puncte
Sistemul de ecuații: {α⋅1+β⋅2+γ⋅0=0α⋅2+β⋅(−1)+γ⋅3=0α⋅3+β⋅1+γ⋅k=0\begin{cases} \alpha \cdot 1 + \beta \cdot 2 + \gamma \cdot 0 = 0 \\ \alpha \cdot 2 + \beta \cdot (-1) + \gamma \cdot 3 = 0 \\ \alpha \cdot 3 + \beta \cdot 1 + \gamma \cdot k = 0 \end{cases}.
34 puncte
Din prima ecuație, α+2β=0\alpha + 2\beta = 0, deci α=−2β\alpha = -2\beta. Înlocuiți în a doua: 2(−2β)−β+3γ=0⇒−4β−β+3γ=0⇒−5β+3γ=0⇒γ=53β2(-2\beta) - \beta + 3\gamma = 0 \Rightarrow -4\beta - \beta + 3\gamma = 0 \Rightarrow -5\beta + 3\gamma = 0 \Rightarrow \gamma = \frac{5}{3}\beta. Înlocuiți în a treia: 3(−2β)+β+53βk=0⇒−6β+β+5k3β=0⇒−5β+5k3β=03(-2\beta) + \beta + \frac{5}{3}\beta k = 0 \Rightarrow -6\beta + \beta + \frac{5k}{3}\beta = 0 \Rightarrow -5\beta + \frac{5k}{3}\beta = 0. Pentru β≠0\beta \neq 0, avem −5+5k3=0⇒5k3=5⇒k=3-5 + \frac{5k}{3} = 0 \Rightarrow \frac{5k}{3} = 5 \Rightarrow k = 3. Sistemul are soluții netriviale pentru k=3k=3.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Vectori

Mediu#1VectoriGeometrie AnaliticăSisteme de Ecuații Neliniare
Punctul N se află pe malul unui râu lat de 11 km, iar viteza curentului este 11 km/h. Punctul M este pe malul opus, la cel puțin 33 km în aval față de N; distanța de-a lungul râului dintre M și N este s≥3s\ge3 km. Un pescar pleacă din M și merge pe mal spre N cu 4 km/h. În același timp, un barcagiu pleacă din N, traversează râul pe o dreaptă până îl găsește pe pescar și îl duce înapoi la N pe aceeași dreaptă. Barcagiu vâslește într-o apă curgătoare cu viteza în apă liniștită 44 km/h, iar durata totală a drumului până la întâlnire și întoarcerea la N este 9/89/8 h. Determinați distanța ss dintre M și N măsurată de-a lungul râului.
Ușor#2VectoriGeometrie Analitică
Fie punctele A(1,1)A(1,1), B(4,5)B(4,5), C(7,1)C(7,1). a) Calculați vectorii AB⃗\vec{AB} și AC⃗\vec{AC}. b) Arătați că ∣AB⃗∣=∣BC⃗∣|\vec{AB}| = |\vec{BC}|. c) Determinați aria triunghiului ABCABC.
Ușor#3VectoriNumere ComplexeTrigonometrie
Fie vectorii u⃗=2i⃗−3j⃗\vec{u} = 2\vec{i} - 3\vec{j} și v⃗=−i⃗+4j⃗\vec{v} = -\vec{i} + 4\vec{j}. a) Calculați u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v} și u⃗⋅v⃗\vec{u} \cdot \vec{v}. b) Exprimați acești vectori ca numere complexe zuz_u și zvz_v și verificați că zu+zvz_u + z_v corespunde cu u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v}. c) Aflați argumentul principal al lui zuz_u.
Ușor#4VectoriGeometrie AnaliticăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie vectorii a⃗=2i⃗+3j⃗\vec{a} = 2\vec{i} + 3\vec{j}, b⃗=−i⃗+4j⃗\vec{b} = -\vec{i} + 4\vec{j} și c⃗=ki⃗+j⃗\vec{c} = k\vec{i} + \vec{j}. Determinați valoarea lui kk pentru care vectorii a⃗+b⃗\vec{a} + \vec{b} și c⃗\vec{c} sunt perpendiculari. Apoi, calculați aria triunghiului format de vectorii a⃗\vec{a}, b⃗\vec{b} și originea sistemului de coordonate.
Vezi toate problemele de Vectori →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Vectori cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.