MediuMonotonie și convexitateClasa 11

Problemă rezolvată de Monotonie și convexitate

MediuMonotonie și convexitateAplicații ale derivatelorMatematică aplicată
O cutie fără capac se construiește dintr-o foaie dreptunghiulară de carton cu lungimea L=20L = 20 cm și lățimea l=10l = 10 cm, prin tăierea pătratelor egale cu latura xx din fiecare colț și îndoirea marginilor. Determinați valoarea lui xx pentru care volumul cutiei este maxim. Studiați monotonia și convexitatea funcției volum V(x)V(x) pe domeniul său de definiție x∈(0,5)x \in (0,5).

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Exprimați volumul: V(x)=x(20−2x)(10−2x)=4x(10−x)(5−x)V(x) = x(20-2x)(10-2x) = 4x(10-x)(5-x).
23 puncte
Calculați derivata întâi: V′(x)=12x2−120x+200V'(x) = 12x^2 - 120x + 200. Găsiți punctele critice: V′(x)=0⇒3x2−30x+50=0⇒x=5±533V'(x)=0 \Rightarrow 3x^2 -30x +50=0 \Rightarrow x = 5 \pm \frac{5\sqrt{3}}{3}. Din x∈(0,5)x \in (0,5), singura soluție validă este x=5−533x = 5 - \frac{5\sqrt{3}}{3}.
33 puncte
Calculați derivata a doua: V′′(x)=24x−120V''(x) = 24x - 120. Studiați semnul: pentru x=5−533x = 5 - \frac{5\sqrt{3}}{3}, V′′(x)=−403<0V''(x) = -40\sqrt{3} < 0, deci punctul critic este de maxim. Analizați monotonia: V′(x)>0V'(x) > 0 pe (0,5−533)(0, 5 - \frac{5\sqrt{3}}{3}) (crescător), V′(x)<0V'(x) < 0 pe (5−533,5)(5 - \frac{5\sqrt{3}}{3}, 5) (descrescător).
42 puncte
Concluzie: Valoarea optimă este x=5−533x = 5 - \frac{5\sqrt{3}}{3} cm. Funcția V(x)V(x) este concavă pe domeniu (V′′(x)<0V''(x) < 0 pentru x∈(0,5)x \in (0,5)), ceea ce confirmă maximul.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Monotonie și convexitate

Ușor#1Monotonie și convexitateDerivate
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=−x(x−2)2y = -x(x - 2)^2.
Ușor#2Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=2x3+3x2−2y = 2x^3 + 3x^2 - 2.
Ușor#3Monotonie și convexitateDerivate
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y=23x3−x2−4x+5y = \frac{2}{3}x^3 - x^2 - 4x + 5.
Mediu#4Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y = x4−4x3−8x2+3x^4 - 4x^3 - 8x^2 + 3.
Vezi toate problemele de Monotonie și convexitate →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Monotonie și convexitate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.