MediuMonotonie și convexitateClasa 11

Problemă rezolvată de Monotonie și convexitate

MediuMonotonie și convexitateAplicații ale derivatelorStudiul funcțiilor
Considerați funcția f:D→Rf: D \to \mathbb{R}, f(x)=x2+ax+bx−1f(x) = \frac{x^2 + ax + b}{x-1}, unde a,b∈Ra, b \in \mathbb{R}. Știind că punctul A(2,5)A(2,5) este punct de extrem al graficului funcției, determinați valorile lui aa și bb, apoi studiați monotonia și convexitatea funcției pe domeniul său de definiție.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
13 puncte
Determinarea domeniului de definiție D=R∖{1}D = \mathbb{R} \setminus \{1\} și scrierea condițiilor pentru extremum: f(2)=5f(2)=5 și f′(2)=0f'(2)=0, unde f′(x)f'(x) se calculează folosind regula de derivare a câtului.\n
22 puncte
Rezolvarea sistemului {4+2a+b1=5f′(2)=0\begin{cases} \frac{4+2a+b}{1}=5 \\ f'(2)=0 \end{cases} pentru a obține a=−3a=-3 și b=4b=4.\n
32 puncte
Calculul derivatei întâi f′(x)f'(x) după înlocuirea lui aa și bb, studiul semnului acesteia și determinarea intervalelor de monotonie: crescătoare pe (−∞,1)(-\infty,1) și (1,2](1,2], descrescătoare pe [2,∞)[2,\infty).\n
42 puncte
Calculul derivatei a doua f′′(x)f''(x), studiul semnului acesteia și determinarea intervalelor de convexitate: concavă pe (−∞,1)(-\infty,1), convexă pe (1,∞)(1,\infty).\n
51 punct
Prezentarea concluziilor asupra monotoniei și convexității cu mențiunea punctului de extrem și a lipsei punctelor de inflexiune.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Monotonie și convexitate

Ușor#1Monotonie și convexitateDerivate
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=−x(x−2)2y = -x(x - 2)^2.
Ușor#2Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=2x3+3x2−2y = 2x^3 + 3x^2 - 2.
Ușor#3Monotonie și convexitateDerivate
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y=23x3−x2−4x+5y = \frac{2}{3}x^3 - x^2 - 4x + 5.
Mediu#4Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y = x4−4x3−8x2+3x^4 - 4x^3 - 8x^2 + 3.
Vezi toate problemele de Monotonie și convexitate →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Monotonie și convexitate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.