MediuMonotonie și convexitateClasa 11

Problemă rezolvată de Monotonie și convexitate

MediuMonotonie și convexitateAplicații ale derivatelorMatematică aplicată
Se consideră funcția g(x)=ex+e−xg(x) = e^x + e^{-x}. a) Determinați intervalele de monotonie și de convexitate ale funcției gg. b) Folosind aceste proprietăți, găsiți valoarea minimă a funcției h(x)=g(x)g(2−x)h(x) = g(x)g(2-x) pe intervalul [0,2][0,2].

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Calculați derivata întâi: g′(x)=ex−e−xg'(x) = e^x - e^{-x}. g′(x)=0g'(x)=0 pentru x=0x=0. Studiați semnul: pe (−∞,0)(-\infty,0), g′(x)<0g'(x)<0, deci gg este strict descrescătoare; pe (0,∞)(0,\infty), g′(x)>0g'(x)>0, deci gg este strict crescătoare.
23 puncte
Calculați derivata a doua: g′′(x)=ex+e−x>0g''(x) = e^x + e^{-x} > 0 pentru orice x∈Rx \in \mathbb{R}, deci gg este convexă pe R\mathbb{R}.
34 puncte
Pentru h(x)=g(x)g(2−x)=(ex+e−x)(e2−x+ex−2)=e2+e−2+e2x−2+e2−2xh(x) = g(x)g(2-x) = (e^x + e^{-x})(e^{2-x} + e^{x-2}) = e^2 + e^{-2} + e^{2x-2} + e^{2-2x}. Calculați derivata lui hh: h′(x)=2e2x−2−2e2−2x=2(e2x−2−e2−2x)h'(x) = 2e^{2x-2} - 2e^{2-2x} = 2(e^{2x-2} - e^{2-2x}). h′(x)=0h'(x)=0 implică e2x−2=e2−2xe^{2x-2} = e^{2-2x}, deci 2x−2=2−2x2x-2 = 2-2x, adică x=1x=1. Pe [0,1)[0,1), h′(x)<0h'(x)<0, deci hh este strict descrescătoare; pe (1,2](1,2], h′(x)>0h'(x)>0, deci hh este strict crescătoare. Valoarea minimă este h(1)=(e+e−1)2=e2+2+e−2h(1) = (e + e^{-1})^2 = e^2 + 2 + e^{-2}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Monotonie și convexitate

Ușor#1Monotonie și convexitateDerivate
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=−x(x−2)2y = -x(x - 2)^2.
Ușor#2Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=2x3+3x2−2y = 2x^3 + 3x^2 - 2.
Ușor#3Monotonie și convexitateDerivate
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y=23x3−x2−4x+5y = \frac{2}{3}x^3 - x^2 - 4x + 5.
Mediu#4Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y = x4−4x3−8x2+3x^4 - 4x^3 - 8x^2 + 3.
Vezi toate problemele de Monotonie și convexitate →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Monotonie și convexitate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.