MediuMonotonie și convexitateClasa 11

Problemă rezolvată de Monotonie și convexitate

MediuMonotonie și convexitateAplicații ale derivatelorMatematică aplicată
Costul total de producție al unei firme este dat de funcția C(x)=0.1x3−1.5x2+9x+10C(x) = 0.1x^3 - 1.5x^2 + 9x + 10, unde x≥0x \geq 0 este cantitatea produsă. a) Determinați intervalele pe care funcția cost marginal Cm(x)=C′(x)C_m(x) = C'(x) este crescătoare și convexe. b) Dacă prețul de vânzare al bunului este constant și egal cu p=15p = 15 unități monetare, aflați nivelul de producție xx care maximizează profitul P(x)=p⋅x−C(x)P(x) = p \cdot x - C(x).

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Calculați costul marginal Cm(x)=0.3x2−3x+9C_m(x) = 0.3x^2 - 3x + 9 și derivata sa întâi Cm′(x)=0.6x−3C_m'(x) = 0.6x - 3.
22 puncte
Studiați monotonia lui Cm(x)C_m(x): Cm′(x)=0⇒x=5C_m'(x) = 0 \Rightarrow x = 5; pentru x<5x < 5, Cm′(x)<0C_m'(x) < 0, Cm(x)C_m(x) descrescătoare; pentru x>5x > 5, Cm′(x)>0C_m'(x) > 0, Cm(x)C_m(x) crescătoare.
32 puncte
Studiați convexitatea lui Cm(x)C_m(x): derivata a doua Cm′′(x)=0.6>0C_m''(x) = 0.6 > 0 pentru x≥0x \geq 0, deci Cm(x)C_m(x) convexă pe [0,∞)[0,\infty).
43 puncte
Scrieți funcția profit P(x)=−0.1x3+1.5x2+6x−10P(x) = -0.1x^3 + 1.5x^2 + 6x - 10; derivata P′(x)=−0.3x2+3x+6P'(x) = -0.3x^2 + 3x + 6; puncte critice: P′(x)=0⇒x2−10x−20=0⇒x=5±35P'(x) = 0 \Rightarrow x^2 - 10x - 20 = 0 \Rightarrow x = 5 \pm 3\sqrt{5}; doar x=5+35x = 5 + 3\sqrt{5} este pozitiv; studiați semnul: pentru x<5+35x < 5 + 3\sqrt{5}, P′(x)>0P'(x) > 0, pentru x>5+35x > 5 + 3\sqrt{5}, P′(x)<0P'(x) < 0, deci x=5+35x = 5 + 3\sqrt{5} maximizează profitul.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Monotonie și convexitate

Ușor#1Monotonie și convexitateDerivate
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=−x(x−2)2y = -x(x - 2)^2.
Ușor#2Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=2x3+3x2−2y = 2x^3 + 3x^2 - 2.
Ușor#3Monotonie și convexitateDerivate
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y=23x3−x2−4x+5y = \frac{2}{3}x^3 - x^2 - 4x + 5.
Mediu#4Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y = x4−4x3−8x2+3x^4 - 4x^3 - 8x^2 + 3.
Vezi toate problemele de Monotonie și convexitate →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Monotonie și convexitate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.