MediuMonotonie și convexitateClasa 11

Problemă rezolvată de Monotonie și convexitate

MediuMonotonie și convexitateAplicații ale derivatelorStudiul funcțiilor
Studiați monotonia și convexitatea funcției f:R→Rf: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=x3−3x2+2f(x) = x^3 - 3x^2 + 2. Aflați punctele de extrem local și punctele de inflexiune. Determinați ecuația tangentei la graficul funcției în punctul de abscisă x=1x=1.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Calculează derivata întâi f′(x)=3x2−6xf'(x) = 3x^2 - 6x.
23 puncte
Rezolvă ecuația f′(x)=0f'(x)=0, adică 3x2−6x=03x^2 - 6x=0, obținând x=0x=0 și x=2x=2. Studiază semnul lui f′(x)f'(x) pe intervalele (−∞,0)(-\infty,0), (0,2)(0,2), (2,∞)(2,\infty) pentru a determina monotonia: ff este crescătoare pe (−∞,0]∪[2,∞)(-\infty,0] \cup [2,\infty) și descrescătoare pe [0,2][0,2]. Punctele de extrem sunt x=0x=0 (maxim local, f(0)=2f(0)=2) și x=2x=2 (minim local, f(2)=−2f(2)=-2).
32 puncte
Calculează derivata a doua f′′(x)=6x−6f''(x) = 6x - 6.
42 puncte
Rezolvă ecuația f′′(x)=0f''(x)=0, adică 6x−6=06x-6=0, obținând x=1x=1. Studiază semnul lui f′′(x)f''(x): pentru x<1x<1, f′′(x)<0f''(x)<0 (funcție concavă), pentru x>1x>1, f′′(x)>0f''(x)>0 (funcție convexă). Punctul de inflexiune este (1,f(1))=(1,0)(1, f(1)) = (1,0).
51 punct
Determină ecuația tangentei în x=1x=1: f(1)=0f(1)=0, f′(1)=3⋅12−6⋅1=−3f'(1)=3 \cdot 1^2 - 6 \cdot 1 = -3, deci tangenta este y−0=−3(x−1)y - 0 = -3(x-1) sau y=−3x+3y = -3x + 3.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Monotonie și convexitate

Ușor#1Monotonie și convexitateDerivate
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=−x(x−2)2y = -x(x - 2)^2.
Ușor#2Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=2x3+3x2−2y = 2x^3 + 3x^2 - 2.
Ușor#3Monotonie și convexitateDerivate
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y=23x3−x2−4x+5y = \frac{2}{3}x^3 - x^2 - 4x + 5.
Mediu#4Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y = x4−4x3−8x2+3x^4 - 4x^3 - 8x^2 + 3.
Vezi toate problemele de Monotonie și convexitate →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Monotonie și convexitate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.