MediuMonotonie și convexitateClasa 11

Problemă rezolvată de Monotonie și convexitate

MediuMonotonie și convexitateAplicații ale derivatelorStudiul funcțiilor
Se consideră funcția f:R∖{0}→Rf: \mathbb{R} \setminus \{0\} \to \mathbb{R}, f(x)=x3−3x+2xf(x) = \frac{x^3 - 3x + 2}{x}. a) Calculați derivata întâi f′(x)f'(x) și derivata a doua f′′(x)f''(x). b) Determinați intervalele de monotonie ale funcției ff și punctele de extrem local. c) Determinați intervalele în care funcția este convexă sau concavă și punctele de inflexiune. d) Folosind rezultatele, discutați o aplicație a derivatelor, cum ar fi determinarea valorilor extreme în contexte practice.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Se calculează derivatele: f′(x)=2x−2x2=2x3−2x2f'(x) = 2x - \frac{2}{x^2} = \frac{2x^3 - 2}{x^2} și f′′(x)=2+4x3=2x3+4x3f''(x) = 2 + \frac{4}{x^3} = \frac{2x^3 + 4}{x^3}.
23 puncte
Se studiază semnul lui f′(x)f'(x): rezolvând f′(x)=0f'(x) = 0, se obține x=1x = 1; pentru x<0x < 0 sau 0<x<10 < x < 1, f′(x)<0f'(x) < 0 (funcție descrescătoare); pentru x>1x > 1, f′(x)>0f'(x) > 0 (funcție crescătoare).
32 puncte
Punctul de extrem local este x=1x = 1, care este minim local, deoarece derivata schimbă semnul din negativ în pozitiv.
42 puncte
Se studiază semnul lui f′′(x)f''(x): pentru x<0x < 0, f′′(x)>0f''(x) > 0 (funcție convexă); pentru x>0x > 0, f′′(x)>0f''(x) > 0 (funcție convexă pe (0,∞)(0, \infty)), cu excepția punctului x=0x = 0 unde funcția nu este definită; nu există puncte de inflexiune deoarece f′′(x)f''(x) nu se anulează.
51 punct
Se discută aplicația derivatelor: de exemplu, în optimizare, derivata întâi identifică extremele, iar derivata a doua confirmă convexitatea, utilă în modele economice sau fizice.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Monotonie și convexitate

Ușor#1Monotonie și convexitateDerivate
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=−x(x−2)2y = -x(x - 2)^2.
Ușor#2Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=2x3+3x2−2y = 2x^3 + 3x^2 - 2.
Ușor#3Monotonie și convexitateDerivate
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y=23x3−x2−4x+5y = \frac{2}{3}x^3 - x^2 - 4x + 5.
Mediu#4Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y = x4−4x3−8x2+3x^4 - 4x^3 - 8x^2 + 3.
Vezi toate problemele de Monotonie și convexitate →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Monotonie și convexitate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.