MediuVectoriClasa 11

Problemă rezolvată de Vectori

MediuVectoriAlgebră și Calcule cu Numere RealeSisteme de Ecuații Liniare
Fie vectorii u⃗=(a,b)\vec{u} = (a, b) și v⃗=(c,d)\vec{v} = (c, d) în plan. Se știe că ∣u⃗∣=13|\vec{u}| = \sqrt{13}, ∣v⃗∣=5|\vec{v}| = \sqrt{5}, u⃗⋅v⃗=7\vec{u} \cdot \vec{v} = 7, și că a−b=1a-b=1 și c+d=3c+d=3. Determinați numerele reale a,b,c,da,b,c,d.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Sistemul de ecuații: a2+b2=13a^2+b^2=13, c2+d2=5c^2+d^2=5, ac+bd=7ac+bd=7, a−b=1a-b=1, c+d=3c+d=3.
23 puncte
Din a−b=1a-b=1, a=b+1a=b+1. Substituind în a2+b2=13a^2+b^2=13: (b+1)2+b2=13⇒2b2+2b−12=0⇒b2+b−6=0⇒b=2(b+1)^2+b^2=13 \Rightarrow 2b^2+2b-12=0 \Rightarrow b^2+b-6=0 \Rightarrow b=2 sau b=−3b=-3. Dacă b=2b=2, atunci a=3a=3; dacă b=−3b=-3, atunci a=−2a=-2.
33 puncte
Din c+d=3c+d=3, c=3−dc=3-d. Substituind în c2+d2=5c^2+d^2=5: (3−d)2+d2=5⇒2d2−6d+4=0⇒d2−3d+2=0⇒d=1(3-d)^2+d^2=5 \Rightarrow 2d^2-6d+4=0 \Rightarrow d^2-3d+2=0 \Rightarrow d=1 sau d=2d=2. Dacă d=1d=1, atunci c=2c=2; dacă d=2d=2, atunci c=1c=1.
42 puncte
Verificăm ac+bd=7ac+bd=7. Pentru a=3,b=2a=3,b=2 și c=1,d=2c=1,d=2: 3∗1+2∗2=3+4=73*1+2*2=3+4=7, deci soluția este a=3,b=2,c=1,d=2a=3,b=2,c=1,d=2. Pentru celelalte combinații, ac+bd≠7ac+bd \neq 7, deci nu satisfac.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Vectori

Mediu#1VectoriGeometrie AnaliticăSisteme de Ecuații Neliniare
Punctul N se află pe malul unui râu lat de 11 km, iar viteza curentului este 11 km/h. Punctul M este pe malul opus, la cel puțin 33 km în aval față de N; distanța de-a lungul râului dintre M și N este s≥3s\ge3 km. Un pescar pleacă din M și merge pe mal spre N cu 4 km/h. În același timp, un barcagiu pleacă din N, traversează râul pe o dreaptă până îl găsește pe pescar și îl duce înapoi la N pe aceeași dreaptă. Barcagiu vâslește într-o apă curgătoare cu viteza în apă liniștită 44 km/h, iar durata totală a drumului până la întâlnire și întoarcerea la N este 9/89/8 h. Determinați distanța ss dintre M și N măsurată de-a lungul râului.
Ușor#2VectoriGeometrie Analitică
Fie punctele A(1,1)A(1,1), B(4,5)B(4,5), C(7,1)C(7,1). a) Calculați vectorii AB⃗\vec{AB} și AC⃗\vec{AC}. b) Arătați că ∣AB⃗∣=∣BC⃗∣|\vec{AB}| = |\vec{BC}|. c) Determinați aria triunghiului ABCABC.
Ușor#3VectoriNumere ComplexeTrigonometrie
Fie vectorii u⃗=2i⃗−3j⃗\vec{u} = 2\vec{i} - 3\vec{j} și v⃗=−i⃗+4j⃗\vec{v} = -\vec{i} + 4\vec{j}. a) Calculați u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v} și u⃗⋅v⃗\vec{u} \cdot \vec{v}. b) Exprimați acești vectori ca numere complexe zuz_u și zvz_v și verificați că zu+zvz_u + z_v corespunde cu u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v}. c) Aflați argumentul principal al lui zuz_u.
Ușor#4VectoriGeometrie AnaliticăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie vectorii a⃗=2i⃗+3j⃗\vec{a} = 2\vec{i} + 3\vec{j}, b⃗=−i⃗+4j⃗\vec{b} = -\vec{i} + 4\vec{j} și c⃗=ki⃗+j⃗\vec{c} = k\vec{i} + \vec{j}. Determinați valoarea lui kk pentru care vectorii a⃗+b⃗\vec{a} + \vec{b} și c⃗\vec{c} sunt perpendiculari. Apoi, calculați aria triunghiului format de vectorii a⃗\vec{a}, b⃗\vec{b} și originea sistemului de coordonate.
Vezi toate problemele de Vectori →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Vectori cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.