MediuVectoriClasa 11

Problemă rezolvată de Vectori

MediuVectoriSisteme de Ecuații LiniareAlgebră și Calcule cu Numere Reale
În spațiul vectorial R3\mathbb{R}^3, se dau vectorii u⃗=i⃗−j⃗+2k⃗\vec{u} = \vec{i} - \vec{j} + 2\vec{k}, v⃗=2i⃗+j⃗−3k⃗\vec{v} = 2\vec{i} + \vec{j} - 3\vec{k}, și w⃗=ai⃗+bj⃗+ck⃗\vec{w} = a\vec{i} + b\vec{j} + c\vec{k}. Aflați valorile reale ale lui a,b,ca, b, c astfel încât w⃗\vec{w} să fie o combinație liniară a vectorilor u⃗\vec{u} și v⃗\vec{v}, și determinați coeficienții α,β∈R\alpha, \beta \in \mathbb{R} astfel încât w⃗=αu⃗+βv⃗\vec{w} = \alpha \vec{u} + \beta \vec{v}. Verificați dacă sistemul {u⃗,v⃗,w⃗}\{\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}\} este liniar independent pentru valorile găsite.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Scriem condiția de combinație liniară: w⃗=αu⃗+βv⃗\vec{w} = \alpha \vec{u} + \beta \vec{v}, unde α,β∈R\alpha, \beta \in \mathbb{R}. Înlocuim vectorii: ai⃗+bj⃗+ck⃗=α(i⃗−j⃗+2k⃗)+β(2i⃗+j⃗−3k⃗)a\vec{i} + b\vec{j} + c\vec{k} = \alpha(\vec{i} - \vec{j} + 2\vec{k}) + \beta(2\vec{i} + \vec{j} - 3\vec{k}).
24 puncte
Egalăm coeficienții pentru i⃗,j⃗,k⃗\vec{i}, \vec{j}, \vec{k} obținând sistemul de ecuații liniare: {a=α+2βb=−α+βc=2α−3β\begin{cases} a = \alpha + 2\beta \\ b = -\alpha + \beta \\ c = 2\alpha - 3\beta \end{cases}. Rezolvăm sistemul pentru a,b,ca, b, c în funcție de α\alpha și β\beta. Din primele două ecuații, exprimăm α\alpha și β\beta în funcție de aa și bb: adunând ecuațiile, obținem a+b=3βa+b = 3\beta, deci β=a+b3\beta = \frac{a+b}{3}, și α=a−2β=a−2(a+b)3=a−2b3\alpha = a - 2\beta = a - \frac{2(a+b)}{3} = \frac{a - 2b}{3}. Apoi, substituim în a treia ecuație: c=2(a−2b3)−3(a+b3)=2a−4b−3a−3b3=−a−7b3c = 2\left(\frac{a-2b}{3}\right) - 3\left(\frac{a+b}{3}\right) = \frac{2a-4b - 3a - 3b}{3} = \frac{-a -7b}{3}. Deci, condiția este c=−a−7b3c = \frac{-a -7b}{3} pentru orice a,b∈Ra, b \in \mathbb{R}, cu α=a−2b3\alpha = \frac{a-2b}{3} și β=a+b3\beta = \frac{a+b}{3}.
33 puncte
Pentru a verifica independența liniară, considerăm sistemul {u⃗,v⃗,w⃗}\{\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}\}. Dacă w⃗\vec{w} este combinație liniară a lui u⃗\vec{u} și v⃗\vec{v}, atunci sistemul este liniar dependent. Prin urmare, pentru valorile a,b,ca, b, c care satisfac c=−a−7b3c = \frac{-a -7b}{3}, sistemul este dependent. Dacă alegem valori particulare, de exemplu a=1,b=0a=1, b=0, atunci c=−13c = \frac{-1}{3}, și coeficienții sunt α=13,β=13\alpha = \frac{1}{3}, \beta = \frac{1}{3}, deci w⃗=13u⃗+13v⃗\vec{w} = \frac{1}{3}\vec{u} + \frac{1}{3}\vec{v}, confirmând dependența liniară.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Vectori

Mediu#1VectoriGeometrie AnaliticăSisteme de Ecuații Neliniare
Punctul N se află pe malul unui râu lat de 11 km, iar viteza curentului este 11 km/h. Punctul M este pe malul opus, la cel puțin 33 km în aval față de N; distanța de-a lungul râului dintre M și N este s≥3s\ge3 km. Un pescar pleacă din M și merge pe mal spre N cu 4 km/h. În același timp, un barcagiu pleacă din N, traversează râul pe o dreaptă până îl găsește pe pescar și îl duce înapoi la N pe aceeași dreaptă. Barcagiu vâslește într-o apă curgătoare cu viteza în apă liniștită 44 km/h, iar durata totală a drumului până la întâlnire și întoarcerea la N este 9/89/8 h. Determinați distanța ss dintre M și N măsurată de-a lungul râului.
Ușor#2VectoriGeometrie Analitică
Fie punctele A(1,1)A(1,1), B(4,5)B(4,5), C(7,1)C(7,1). a) Calculați vectorii AB⃗\vec{AB} și AC⃗\vec{AC}. b) Arătați că ∣AB⃗∣=∣BC⃗∣|\vec{AB}| = |\vec{BC}|. c) Determinați aria triunghiului ABCABC.
Ușor#3VectoriNumere ComplexeTrigonometrie
Fie vectorii u⃗=2i⃗−3j⃗\vec{u} = 2\vec{i} - 3\vec{j} și v⃗=−i⃗+4j⃗\vec{v} = -\vec{i} + 4\vec{j}. a) Calculați u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v} și u⃗⋅v⃗\vec{u} \cdot \vec{v}. b) Exprimați acești vectori ca numere complexe zuz_u și zvz_v și verificați că zu+zvz_u + z_v corespunde cu u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v}. c) Aflați argumentul principal al lui zuz_u.
Ușor#4VectoriGeometrie AnaliticăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie vectorii a⃗=2i⃗+3j⃗\vec{a} = 2\vec{i} + 3\vec{j}, b⃗=−i⃗+4j⃗\vec{b} = -\vec{i} + 4\vec{j} și c⃗=ki⃗+j⃗\vec{c} = k\vec{i} + \vec{j}. Determinați valoarea lui kk pentru care vectorii a⃗+b⃗\vec{a} + \vec{b} și c⃗\vec{c} sunt perpendiculari. Apoi, calculați aria triunghiului format de vectorii a⃗\vec{a}, b⃗\vec{b} și originea sistemului de coordonate.
Vezi toate problemele de Vectori →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Vectori cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.