MediuMonotonie și convexitateClasa 11

Problemă rezolvată de Monotonie și convexitate

MediuMonotonie și convexitateAplicații ale derivatelorMatematică aplicată
O cutie fără capac se confecționează dintr-o foaie de carton pătrată cu latura de 12 cm, prin decuparea pătratelor identice din fiecare colț și îndoirea marginilor. Determinați dimensiunile cutiei care maximizează volumul. Discutați monotonia funcției volum pe intervalul relevant și determinați convexitatea acesteia.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Fie xx lungimea laturii pătratelor decupate, cu x∈(0,6)x \in (0,6). Volumul cutiei este V(x)=x(12−2x)2=4x(6−x)2V(x) = x(12-2x)^2 = 4x(6-x)^2.
23 puncte
Calculăm derivata V′(x)=4[(6−x)2−2x(6−x)]=4(6−x)(6−3x)=12(6−x)(2−x)V'(x) = 4[(6-x)^2 - 2x(6-x)] = 4(6-x)(6-3x) = 12(6-x)(2-x). Studiem semnul: pentru x∈(0,2)x \in (0,2), V′(x)>0V'(x) > 0; pentru x=2x=2, V′(x)=0V'(x)=0; pentru x∈(2,6)x \in (2,6), V′(x)<0V'(x) < 0. Deci VV este crescătoare pe (0,2](0,2] și descrescătoare pe [2,6)[2,6).
32 puncte
Calculăm derivata a doua V′′(x)=12[−(2−x)−(6−x)]=12(−8+2x)=24(x−4)V''(x) = 12[- (2-x) - (6-x)] = 12(-8+2x) = 24(x-4). Pentru x∈(0,4)x \in (0,4), V′′(x)<0V''(x) < 0, deci VV este concavă; pentru x∈(4,6)x \in (4,6), V′′(x)>0V''(x) > 0, deci VV este convexă.
42 puncte
Maximul volumului este atins în x=2x=2, deoarece funcția este crescătoare până la x=2x=2 și descrescătoare după.
51 punct
Dimensiunile cutiei: înălțimea x=2x=2 cm, lungimea și lățimea sunt 12−2x=812-2x=8 cm, deci cutia are dimensiunile 8×8×28 \times 8 \times 2 cm.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Monotonie și convexitate

Ușor#1Monotonie și convexitateDerivate
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=−x(x−2)2y = -x(x - 2)^2.
Ușor#2Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=2x3+3x2−2y = 2x^3 + 3x^2 - 2.
Ușor#3Monotonie și convexitateDerivate
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y=23x3−x2−4x+5y = \frac{2}{3}x^3 - x^2 - 4x + 5.
Mediu#4Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y = x4−4x3−8x2+3x^4 - 4x^3 - 8x^2 + 3.
Vezi toate problemele de Monotonie și convexitate →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Monotonie și convexitate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.