MediuMonotonie și convexitateClasa 11

Problemă rezolvată de Monotonie și convexitate

MediuMonotonie și convexitateAplicații ale derivatelorStudiul funcțiilor
Fie funcția f:R→Rf: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=ex−x−1f(x) = e^x - x - 1. a) Arătați că ff este strict crescătoare pe R\mathbb{R} și convexă pe R\mathbb{R}. b) Determinați ecuația tangentei la graficul lui ff în punctul de abscisă x=0x=0. c) Utilizând proprietățile de monotonie și convexitate, demonstrați inegalitatea ex≥x+1e^x \geq x+1 pentru orice x∈Rx \in \mathbb{R}.

Rezolvare completă

3 puncte · 1 pas
13 puncte
Calculăm derivata întâi: f′(x)=ex−1f'(x) = e^x - 1. Pentru x<0x < 0, ex<1e^x < 1, deci f′(x)<0f'(x) < 0? Corect: ex>0e^x > 0 întotdeauna, dar f′(x)=ex−1f'(x) = e^x - 1. f′(x)=0f'(x) = 0 pentru x=0x=0, f′(x)>0f'(x) > 0 pentru x>0x > 0 și f′(x)<0f'(x) < 0 pentru x<0x < 0? Verific: ex−1>0⇔ex>1⇔x>0e^x - 1 > 0 \Leftrightarrow e^x > 1 \Leftrightarrow x > 0, și ex−1<0⇔x<0e^x - 1 < 0 \Leftrightarrow x < 0. Deci ff nu este strict crescătoare pe tot R\mathbb{R}; este descrescătoare pe (−∞,0](-\infty, 0] și crescătoare pe [0,∞)[0, \infty). Ajustez enunțul sau baremul. În barem, corect: f′(x)=ex−1f'(x) = e^x - 1, f′(x)=0f'(x) = 0 pentru x=0x=0, f′(x)>0f'(x) > 0 pentru x>0x > 0, f′(x)<0f'(x) < 0 pentru x<0x < 0, deci ff este descrescătoare pe (−∞,0](-\infty, 0], crescătoare pe [0,∞)[0, \infty). Dar enunțul cere strict crescătoare pe R\mathbb{R}; aceasta este greșită. Trebuie să modific enunțul sau exercițiul. Voi ajusta exercițiul pentru a fi corect. Noul exercițiu: Fie f(x)=ex−x−1f(x) = e^x - x - 1. a) Studiați monotonia și convexitatea funcției ff. b) Determinați ecuația tangentei în x=0x=0. c) Demonstrați ex≥x+1e^x \geq x+1 folosind convexitatea. În barem, pentru monotonie: ff descrescătoare pe (−∞,0](-\infty,0], crescătoare pe [0,∞)[0,\infty), deci nu strict crescătoare peste tot. Convexitatea: f′′(x)=ex>0f''(x)=e^x>0, deci convexă pe R\mathbb{R}. Pentru tangenta: f(0)=0f(0)=0, f′(0)=0f'(0)=0, deci y=0y=0. Pentru inegalitate: deoarece ff convexă și tangenta în x=0x=0 este y=0y=0, avem f(x)≥0f(x) \geq 0 pentru orice xx, adică ex≥x+1e^x \geq x+1. Ajustez exercițiul în JSON.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Monotonie și convexitate

Ușor#1Monotonie și convexitateDerivate
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=−x(x−2)2y = -x(x - 2)^2.
Ușor#2Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=2x3+3x2−2y = 2x^3 + 3x^2 - 2.
Ușor#3Monotonie și convexitateDerivate
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y=23x3−x2−4x+5y = \frac{2}{3}x^3 - x^2 - 4x + 5.
Mediu#4Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y = x4−4x3−8x2+3x^4 - 4x^3 - 8x^2 + 3.
Vezi toate problemele de Monotonie și convexitate →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Monotonie și convexitate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.