MediuMonotonie și convexitateClasa 11

Problemă rezolvată de Monotonie și convexitate

MediuMonotonie și convexitateAplicații ale derivatelorStudiul funcțiilor
Fie funcția f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x3−3x2+2f(x) = x^3 - 3x^2 + 2. Să se studieze monotonia și convexitatea acestei funcții. Determinați intervalele de monotonie, punctele de extrem local și punctele de inflexiune. Utilizând rezultatele, discutați, în funcție de parametrul real aa, numărul de soluții reale ale ecuației f(x)=af(x) = a.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Calculul derivatei întâi: f′(x)=3x2−6xf'(x) = 3x^2 - 6x.
22 puncte
Determinarea punctelor critice: f′(x)=0⇒x=0f'(x)=0 \Rightarrow x=0 sau x=2x=2. Studiul semnului lui f′(x)f'(x): pe (−∞,0)(-\infty,0), f′(x)>0f'(x)>0 (funcția crescătoare); pe (0,2)(0,2), f′(x)<0f'(x)<0 (funcția descrescătoare); pe (2,∞)(2,\infty), f′(x)>0f'(x)>0 (funcția crescătoare).
32 puncte
Calculul derivatei a doua: f′′(x)=6x−6f''(x) = 6x - 6.
42 puncte
Determinarea convexității: f′′(x)=0⇒x=1f''(x)=0 \Rightarrow x=1. Pe (−∞,1)(-\infty,1), f′′(x)<0f''(x)<0 (funcția concavă); pe (1,∞)(1,\infty), f′′(x)>0f''(x)>0 (funcția convexă). Punctul de inflexiune este x=1x=1, f(1)=0f(1)=0.
52 puncte
Discuția ecuației f(x)=af(x)=a: folosind monotonia, ff are un maxim local în x=0x=0 cu f(0)=2f(0)=2 și un minim local în x=2x=2 cu f(2)=−2f(2)=-2. Pentru a>2a>2 sau a<−2a<-2, ecuația are o soluție; pentru a=2a=2 sau a=−2a=-2, are două soluții (una dublă); pentru −2<a<2-2<a<2, are trei soluții.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Monotonie și convexitate

Ușor#1Monotonie și convexitateDerivate
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=−x(x−2)2y = -x(x - 2)^2.
Ușor#2Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=2x3+3x2−2y = 2x^3 + 3x^2 - 2.
Ușor#3Monotonie și convexitateDerivate
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y=23x3−x2−4x+5y = \frac{2}{3}x^3 - x^2 - 4x + 5.
Mediu#4Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y = x4−4x3−8x2+3x^4 - 4x^3 - 8x^2 + 3.
Vezi toate problemele de Monotonie și convexitate →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Monotonie și convexitate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.