MediuVectoriClasa 10

Problemă rezolvată de Vectori

MediuVectoriTrigonometrieGeometrie Analitică
Fie vectorii a⃗=3i⃗−j⃗+2k⃗\vec{a} = 3\vec{i} - \vec{j} + 2\vec{k} și b⃗=i⃗+4j⃗−3k⃗\vec{b} = \vec{i} + 4\vec{j} - 3\vec{k}. Calculați produsul scalar a⃗⋅b⃗\vec{a} \cdot \vec{b}, unghiul dintre a⃗\vec{a} și b⃗\vec{b}, produsul vectorial a⃗×b⃗\vec{a} \times \vec{b}, și verificați dacă vectorii a⃗\vec{a}, b⃗\vec{b} și c⃗=2i⃗+k⃗\vec{c} = 2\vec{i} + \vec{k} sunt coplanari.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Calculați produsul scalar a⃗⋅b⃗=3⋅1+(−1)⋅4+2⋅(−3)=3−4−6=−7\vec{a} \cdot \vec{b} = 3 \cdot 1 + (-1) \cdot 4 + 2 \cdot (-3) = 3 - 4 - 6 = -7.
23 puncte
Calculați normele ∣∣a⃗∣∣=32+(−1)2+22=14||\vec{a}|| = \sqrt{3^2 + (-1)^2 + 2^2} = \sqrt{14} și ∣∣b⃗∣∣=12+42+(−3)2=26||\vec{b}|| = \sqrt{1^2 + 4^2 + (-3)^2} = \sqrt{26}. Apoi, cos⁡θ=a⃗⋅b⃗∣∣a⃗∣∣∣∣b⃗∣∣=−71426=−7291\cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{||\vec{a}|| ||\vec{b}||} = \frac{-7}{\sqrt{14} \sqrt{26}} = \frac{-7}{2\sqrt{91}}, deci unghiul este θ=arccos⁡(−7291)\theta = \arccos\left(\frac{-7}{2\sqrt{91}}\right).
32 puncte
Calculați produsul vectorial a⃗×b⃗=∣i⃗j⃗k⃗3−1214−3∣=i⃗((−1)(−3)−2⋅4)−j⃗(3⋅(−3)−2⋅1)+k⃗(3⋅4−(−1)⋅1)=−5i⃗+11j⃗+13k⃗\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 3 & -1 & 2 \\ 1 & 4 & -3 \end{vmatrix} = \vec{i}((-1)(-3) - 2 \cdot 4) - \vec{j}(3 \cdot (-3) - 2 \cdot 1) + \vec{k}(3 \cdot 4 - (-1) \cdot 1) = -5\vec{i} + 11\vec{j} + 13\vec{k}.
42 puncte
Pentru a verifica coplanaritatea, calculați produsul mixt a⃗⋅(b⃗×c⃗)\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}). Mai întâi, b⃗×c⃗=∣i⃗j⃗k⃗14−3201∣=4i⃗−7j⃗−8k⃗\vec{b} \times \vec{c} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 4 & -3 \\ 2 & 0 & 1 \end{vmatrix} = 4\vec{i} - 7\vec{j} - 8\vec{k}. Apoi, a⃗⋅(b⃗×c⃗)=3⋅4+(−1)⋅(−7)+2⋅(−8)=12+7−16=3≠0\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) = 3 \cdot 4 + (-1) \cdot (-7) + 2 \cdot (-8) = 12 + 7 - 16 = 3 \neq 0, deci vectorii nu sunt coplanari.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Vectori

Mediu#1VectoriGeometrie AnaliticăSisteme de Ecuații Neliniare
Punctul N se află pe malul unui râu lat de 11 km, iar viteza curentului este 11 km/h. Punctul M este pe malul opus, la cel puțin 33 km în aval față de N; distanța de-a lungul râului dintre M și N este s≥3s\ge3 km. Un pescar pleacă din M și merge pe mal spre N cu 4 km/h. În același timp, un barcagiu pleacă din N, traversează râul pe o dreaptă până îl găsește pe pescar și îl duce înapoi la N pe aceeași dreaptă. Barcagiu vâslește într-o apă curgătoare cu viteza în apă liniștită 44 km/h, iar durata totală a drumului până la întâlnire și întoarcerea la N este 9/89/8 h. Determinați distanța ss dintre M și N măsurată de-a lungul râului.
Ușor#2VectoriGeometrie Analitică
Fie punctele A(1,1)A(1,1), B(4,5)B(4,5), C(7,1)C(7,1). a) Calculați vectorii AB⃗\vec{AB} și AC⃗\vec{AC}. b) Arătați că ∣AB⃗∣=∣BC⃗∣|\vec{AB}| = |\vec{BC}|. c) Determinați aria triunghiului ABCABC.
Ușor#3VectoriNumere ComplexeTrigonometrie
Fie vectorii u⃗=2i⃗−3j⃗\vec{u} = 2\vec{i} - 3\vec{j} și v⃗=−i⃗+4j⃗\vec{v} = -\vec{i} + 4\vec{j}. a) Calculați u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v} și u⃗⋅v⃗\vec{u} \cdot \vec{v}. b) Exprimați acești vectori ca numere complexe zuz_u și zvz_v și verificați că zu+zvz_u + z_v corespunde cu u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v}. c) Aflați argumentul principal al lui zuz_u.
Ușor#4VectoriGeometrie AnaliticăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie vectorii a⃗=2i⃗+3j⃗\vec{a} = 2\vec{i} + 3\vec{j}, b⃗=−i⃗+4j⃗\vec{b} = -\vec{i} + 4\vec{j} și c⃗=ki⃗+j⃗\vec{c} = k\vec{i} + \vec{j}. Determinați valoarea lui kk pentru care vectorii a⃗+b⃗\vec{a} + \vec{b} și c⃗\vec{c} sunt perpendiculari. Apoi, calculați aria triunghiului format de vectorii a⃗\vec{a}, b⃗\vec{b} și originea sistemului de coordonate.
Vezi toate problemele de Vectori →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Vectori cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.