MediuMonotonie și convexitateClasa 11

Problemă rezolvată de Monotonie și convexitate

MediuMonotonie și convexitateAplicații ale derivatelorStudiul funcțiilor
Fie funcția f:R→Rf: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=x3−3x2+2f(x) = x^3 - 3x^2 + 2. Să se studieze monotonia și convexitatea funcției ff. Apoi, să se determine punctele de extrem local și punctele de inflexiune ale graficului funcției.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Se calculează derivatele: f′(x)=3x2−6xf'(x) = 3x^2 - 6x, f′′(x)=6x−6f''(x) = 6x - 6.
23 puncte
Se studiază monotonia: se rezolvă f′(x)=0f'(x)=0, obținând x=0x=0 și x=2x=2. Pe intervalele (−∞,0)(-\infty,0), (0,2)(0,2), (2,∞)(2,\infty), se analizează semnul lui f′(x)f'(x): pentru x<0x<0, f′(x)>0f'(x)>0 (crescătoare); pentru 0<x<20<x<2, f′(x)<0f'(x)<0 (descrescătoare); pentru x>2x>2, f′(x)>0f'(x)>0 (crescătoare).
32 puncte
Se studiază convexitatea: se rezolvă f′′(x)=0f''(x)=0, obținând x=1x=1. Se analizează semnul lui f′′(x)f''(x): pentru x<1x<1, f′′(x)<0f''(x)<0 (concavă); pentru x>1x>1, f′′(x)>0f''(x)>0 (convexă).
42 puncte
Se identifică punctele de extrem: în x=0x=0, f(0)=2f(0)=2, este maxim local; în x=2x=2, f(2)=−2f(2)=-2, este minim local. Punctul de inflexiune este în x=1x=1, f(1)=0f(1)=0.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Monotonie și convexitate

Ușor#1Monotonie și convexitateDerivate
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=−x(x−2)2y = -x(x - 2)^2.
Ușor#2Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=2x3+3x2−2y = 2x^3 + 3x^2 - 2.
Ușor#3Monotonie și convexitateDerivate
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y=23x3−x2−4x+5y = \frac{2}{3}x^3 - x^2 - 4x + 5.
Mediu#4Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y = x4−4x3−8x2+3x^4 - 4x^3 - 8x^2 + 3.
Vezi toate problemele de Monotonie și convexitate →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Monotonie și convexitate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.