MediuMonotonie și convexitateClasa 11

Problemă rezolvată de Monotonie și convexitate

MediuMonotonie și convexitateAplicații ale derivatelorStudiul funcțiilor
Consideră funcția f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x3−3x2+4f(x) = x^3 - 3x^2 + 4. Determină intervalele de monotonie și convexitate ale funcției ff. Apoi, folosind proprietățile găsite, află valoarea minimă a funcției ff pe intervalul [−1,3][-1, 3] și justifică răspunsul.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Se calculează derivata întâi: f′(x)=3x2−6xf'(x) = 3x^2 - 6x. Se rezolvă ecuația f′(x)=0f'(x)=0 și se obțin punctele critice x=0x=0 și x=2x=2. Se studiază semnul derivatei pe intervalele (−∞,0)(-\infty,0), (0,2)(0,2), (2,∞)(2,\infty) și se deduce că ff este crescătoare pe (−∞,0]∪[2,∞)(-\infty,0] \cup [2,\infty) și descrescătoare pe [0,2][0,2].
23 puncte
Se calculează derivata a doua: f′′(x)=6x−6f''(x) = 6x - 6. Se rezolvă ecuația f′′(x)=0f''(x)=0 și se obține punctul x=1x=1. Se studiază semnul derivatei a doua și se deduce că ff este convexă pe [1,∞)[1,\infty) și concavă pe (−∞,1](-\infty,1].
34 puncte
Pentru a găsi minimul pe [−1,3][-1,3], se evaluează funcția în punctele critice și în capetele intervalului: f(−1)=0f(-1)=0, f(0)=4f(0)=4, f(2)=0f(2)=0, f(3)=4f(3)=4. Din monotonia funcției, pe [−1,0][-1,0] funcția este crescătoare, pe [0,2][0,2] este descrescătoare, iar pe [2,3][2,3] este crescătoare. Valoarea minimă este 00, atinsă în x=−1x=-1 și x=2x=2.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Monotonie și convexitate

Ușor#1Monotonie și convexitateDerivate
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=−x(x−2)2y = -x(x - 2)^2.
Ușor#2Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=2x3+3x2−2y = 2x^3 + 3x^2 - 2.
Ușor#3Monotonie și convexitateDerivate
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y=23x3−x2−4x+5y = \frac{2}{3}x^3 - x^2 - 4x + 5.
Mediu#4Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y = x4−4x3−8x2+3x^4 - 4x^3 - 8x^2 + 3.
Vezi toate problemele de Monotonie și convexitate →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Monotonie și convexitate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.