MediuMonotonie și convexitateClasa 11

Problemă rezolvată de Monotonie și convexitate

MediuMonotonie și convexitateAplicații ale derivatelorStudiul funcțiilor
Se consideră funcția f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x3−3x2+2f(x) = x^3 - 3x^2 + 2. Studiați monotonia și convexitatea acestei funcții. Apoi, determinați numărul de soluții reale ale ecuației f(x)=kf(x) = k, în funcție de parametrul real kk.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Calculați derivata întâi f′(x)=3x2−6xf'(x) = 3x^2 - 6x și rezolvați f′(x)=0f'(x) = 0 pentru a obține punctele critice x=0x=0 și x=2x=2. Studiați semnul derivatei: f′(x)>0f'(x) > 0 pe (−∞,0)∪(2,∞)(-\infty,0) \cup (2,\infty), deci ff este crescătoare pe (−∞,0](-\infty,0] și [2,∞)[2,\infty); f′(x)<0f'(x) < 0 pe (0,2)(0,2), deci ff este descrescătoare pe [0,2][0,2]. \
23 puncte
Calculați derivata a doua f′′(x)=6x−6f''(x) = 6x - 6 și rezolvați f′′(x)=0f''(x) = 0 pentru x=1x=1. Studiați semnul derivatei a doua: f′′(x)<0f''(x) < 0 pe (−∞,1)(-\infty,1), deci ff este concavă pe (−∞,1](-\infty,1]; f′′(x)>0f''(x) > 0 pe (1,∞)(1,\infty), deci ff este convexă pe [1,∞)[1,\infty). \
34 puncte
Folosiți valorile funcției în punctele relevante: f(0)=2f(0)=2, f(2)=−2f(2)=-2, f(1)=0f(1)=0 și comportamentul asimptotic (lim⁡x→−∞f(x)=−∞\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty, lim⁡x→∞f(x)=∞\lim_{x \to \infty} f(x) = \infty). Analizați graficul: pentru k>2k > 2 sau k<−2k < -2, ecuația f(x)=kf(x)=k are o soluție; pentru k=2k=2 sau k=−2k=-2, are două soluții (una simplă și una dublă); pentru k∈(−2,2)k \in (-2,2), are trei soluții distincte.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Monotonie și convexitate

Ușor#1Monotonie și convexitateDerivate
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=−x(x−2)2y = -x(x - 2)^2.
Ușor#2Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=2x3+3x2−2y = 2x^3 + 3x^2 - 2.
Ușor#3Monotonie și convexitateDerivate
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y=23x3−x2−4x+5y = \frac{2}{3}x^3 - x^2 - 4x + 5.
Mediu#4Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y = x4−4x3−8x2+3x^4 - 4x^3 - 8x^2 + 3.
Vezi toate problemele de Monotonie și convexitate →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Monotonie și convexitate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.