Probleme grele de Aplicații ale trigonometriei în geometrie

Clasa a 9-a • 2 probleme de nivel greu

Ușor (55)Mediu (60)Toate
Greu#1Aplicații ale trigonometriei în geometrieAplicații ale derivatelor
Baza inferioară a unui trapez isoscel este l, iar unghiul de la bază este α\alpha. Diagonala trapezului este perpendiculară pe una dintre laturile sale neparalele. Pentru ce valoare a lui α\alpha aria trapezului este maximă? Determinați aria maximă.

Rezolvare completă

3 puncte · 1 pas
23 puncte
Aria trapezului este S=l+b2⋅hS=\dfrac{l+b}{2}\cdot h. Folosind h=l+b2h=\dfrac{l+b}{2} rezultă S=(l+b)24S=\dfrac{(l+b)^2}{4}. Din expresia tan⁡α=l+bl−b\tan\alpha=\dfrac{l+b}{l-b} introducem t=tan⁡αt=\tan\alpha și obținem l+b=2ltt+1l+b=\dfrac{2lt}{t+1}. Astfel S(α)=l2t2(t+1)2=l2(tan⁡α1+tan⁡α)2S(\alpha)=l^2\dfrac{t^2}{(t+1)^2}=l^2\left(\dfrac{\tan\alpha}{1+\tan\alpha}\right)^2.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Greu#2Aplicații ale trigonometriei în geometrieMonotonie și convexitate
Baza inferioară a unui trapez isoscel este l, iar unghiul de la bază este α\alpha. Diagonala trapezului este perpendiculară pe una dintre laturile sale neparalele. Pentru ce valoare a lui α\alpha aria trapezului este maximă? Determinați aria maximă.

Rezolvare completă

2 puncte · 1 pas
32 puncte
Observăm că funcția f(t)=tt+1f(t)=\dfrac{t}{t+1} (cu t=tan⁡αt=\tan\alpha) este crescătoare pentru t>0t>0, deci S(α)S(\alpha) crește cu tan⁡α\tan\alpha. Limita spre maximă este atinsă când tan⁡α→+∞\tan\alpha\to+\infty, adică α→π2\alpha\to\dfrac{\pi}{2}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

57 zile până la BAC

Pregătește-te la Aplicații ale trigonometriei în geometrie cu AI

Accesează toate cele 2 probleme de Aplicații ale trigonometriei în geometrie cu rezolvări complete pas cu pas și corectare automată AI.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.