Probleme de nivel mediu de Aplicații ale trigonometriei în geometrie

Clasa a 9-a • 60 probleme de nivel mediu

Ușor (55)Greu (2)Toate
Mediu#1Aplicații ale trigonometriei în geometrieTrigonometrieMatematică aplicată
Un observator măsoară unghiul de elevație până la vârful unui turn și obține 30∘30^\circ. După ce se apropie cu 20 m de turn, unghiul de elevație devine 45∘45^\circ. Determinați înălțimea turnului, presupunând că solul este orizontal.

Rezolvare completă

10 puncte · 6 pași
12 puncte
Notăm înălțimea turnului cu hh și distanța inițială de la observator la turn cu xx. Scriem ecuațiile trigonometrice: tan⁡30∘=hx\tan 30^\circ = \frac{h}{x} și tan⁡45∘=hx−20\tan 45^\circ = \frac{h}{x-20}.
21 punct
Substituim valorile cunoscute: tan⁡30∘=13\tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}}, tan⁡45∘=1\tan 45^\circ = 1.
32 puncte
Obținem sistemul: h=x3h = \frac{x}{\sqrt{3}} și h=x−20h = x - 20.
42 puncte
Egalăm expresiile pentru hh: x3=x−20⇒x−x3=20⇒x(1−13)=20\frac{x}{\sqrt{3}} = x - 20 \Rightarrow x - \frac{x}{\sqrt{3}} = 20 \Rightarrow x\left(1 - \frac{1}{\sqrt{3}}\right) = 20.
52 puncte
Rezolvăm pentru xx: x=201−13=2033−1x = \frac{20}{1 - \frac{1}{\sqrt{3}}} = \frac{20\sqrt{3}}{\sqrt{3}-1}. Rationalizăm: x=203(3+1)(3−1)(3+1)=203(3+1)2=103(3+1)=30+103x = \frac{20\sqrt{3}(\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)} = \frac{20\sqrt{3}(\sqrt{3}+1)}{2} = 10\sqrt{3}(\sqrt{3}+1) = 30 + 10\sqrt{3} m.
61 punct
Calculăm înălțimea hh: h=x−20=(30+103)−20=10+103=10(1+3)h = x - 20 = (30 + 10\sqrt{3}) - 20 = 10 + 10\sqrt{3} = 10(1+\sqrt{3}) m.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Mediu#2Aplicații ale trigonometriei în geometrieGeometrie AnaliticăTrigonometrie
Un teren are forma unui triunghi dreptunghic cu catetele de 30 m și 40 m. Se dorește construirea unui drum drept care unește vârful unghiului drept cu ipotenuza, perpendicular pe aceasta. Calculați lungimea drumului și distanța de la piciorul perpendicularei la vârful unghiului drept. Utilizați proprietăți geometrice și trigonometrice.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Identificarea triunghiului dreptunghic: catetele a=30a = 30 m, b=40b = 40 m, ipotenuza c=302+402=50c = \sqrt{30^2 + 40^2} = 50 m. Înălțimea corespunzătoare ipotenuzei, h, este drumul perpendicular. Folosind formula ariei: A=ab2=ch2A = \frac{ab}{2} = \frac{ch}{2}, deci h=abc=30⋅4050=24h = \frac{ab}{c} = \frac{30 \cdot 40}{50} = 24 m.
23 puncte
Calculul distanțelor pe ipotenuză folosind teorema înălțimii: fie p și q proiecțiile catetelor pe ipotenuză, cu p+q=c=50p + q = c = 50 m și h2=p⋅qh^2 = p \cdot q. Rezolvând sistemul: p⋅q=242=576p \cdot q = 24^2 = 576 și p+q=50p + q = 50.
33 puncte
Rezolvarea sistemului: din q=50−pq = 50 - p, înlocuim în p(50−p)=576p(50 - p) = 576, obținând p2−50p+576=0p^2 - 50p + 576 = 0. Soluțiile sunt p=18p = 18 m și p=32p = 32 m, deci distanțele de la piciorul perpendicularei la capetele ipotenuzei sunt 18 m și 32 m. Distanța de la vârful unghiului drept la piciorul perpendicularei este una dintre acestea, în funcție de configurație; de exemplu, dacă considerăm proiecția pe cateta de 30 m, se poate verifica cu trigonometrie.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Mediu#3Aplicații ale trigonometriei în geometrieTrigonometrie
Pentru a măsura înălțimea unui turn, un observator măsoară unghiul de elevație la vârful turnului și obține 30°. Apoi se îndepărtează cu 20 de metri de turn și măsoară din nou unghiul de elevație, obținând 25°. Calculați înălțimea turnului, presupunând că solul este orizontal și turnul este vertical.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Notăm cu hh înălțimea turnului și cu dd distanța inițială de la observator la baza turnului. Din primul măsurător: tan⁡(30∘)=hd\tan(30^{\circ}) = \frac{h}{d}, deci h=d⋅tan⁡(30∘)h = d \cdot \tan(30^{\circ}). Din al doilea măsurător: tan⁡(25∘)=hd+20\tan(25^{\circ}) = \frac{h}{d+20}, deci h=(d+20)⋅tan⁡(25∘)h = (d+20) \cdot \tan(25^{\circ}).
23 puncte
Echivalând expresiile pentru hh: d⋅tan⁡(30∘)=(d+20)⋅tan⁡(25∘)d \cdot \tan(30^{\circ}) = (d+20) \cdot \tan(25^{\circ}). Rezolvăm pentru dd: d(tan⁡(30∘)−tan⁡(25∘))=20tan⁡(25∘)d (\tan(30^{\circ}) - \tan(25^{\circ})) = 20 \tan(25^{\circ}), deci d=20tan⁡(25∘)tan⁡(30∘)−tan⁡(25∘)d = \frac{20 \tan(25^{\circ})}{\tan(30^{\circ}) - \tan(25^{\circ})}.
32 puncte
Calculăm valorile: tan⁡(30∘)=33≈0.5774\tan(30^{\circ}) = \frac{\sqrt{3}}{3} \approx 0.5774, tan⁡(25∘)≈0.4663\tan(25^{\circ}) \approx 0.4663. Atunci d≈20×0.46630.5774−0.4663≈9.3260.1111≈83.94d \approx \frac{20 \times 0.4663}{0.5774 - 0.4663} \approx \frac{9.326}{0.1111} \approx 83.94 metri.
42 puncte
Înălțimea h=d⋅tan⁡(30∘)≈83.94×0.5774≈48.46h = d \cdot \tan(30^{\circ}) \approx 83.94 \times 0.5774 \approx 48.46 metri.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Mediu#4Aplicații ale trigonometriei în geometrieGeometrie Analitică
De la baza unui turn, se măsoară unghiul de elevație la vârful steagului de pe turn, obținându-se 30∘30^\circ. Mergând 5050 de metri spre turn, unghiul de elevație devine 45∘45^\circ. Să se determine înălțimea turnului (fără steag) și înălțimea steagului. Se neglijează înălțimea observatorului.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Notații: hh = înălțimea turnului, xx = înălțimea steagului, dd = distanța inițială de la observator la turn. Din primul unghi: tan⁡30∘=h+xd⇒13=h+xd⇒d=(h+x)3\tan 30^\circ = \frac{h+x}{d} \Rightarrow \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{h+x}{d} \Rightarrow d = (h+x)\sqrt{3}.
23 puncte
Din al doilea unghi, după ce se merge 5050 m spre turn: tan⁡45∘=h+xd−50⇒1=h+xd−50⇒d−50=h+x\tan 45^\circ = \frac{h+x}{d-50} \Rightarrow 1 = \frac{h+x}{d-50} \Rightarrow d-50 = h+x.
32 puncte
Substituind dd din prima ecuație în a doua: (h+x)3−50=h+x⇒(h+x)(3−1)=50⇒h+x=503−1(h+x)\sqrt{3} - 50 = h+x \Rightarrow (h+x)(\sqrt{3} - 1) = 50 \Rightarrow h+x = \frac{50}{\sqrt{3} - 1}.
42 puncte
Raționalizarea: h+x=50(3+1)(3−1)(3+1)=50(3+1)2=25(3+1)h+x = \frac{50(\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)} = \frac{50(\sqrt{3}+1)}{2} = 25(\sqrt{3}+1) metri. Pentru a găsi hh și xx separat, se necesită o ecuație suplimentară, dar enunțul cere doar înălțimea turnului și a steagului? Problema spune 'Să se determine înălțimea turnului (fără steag) și înălțimea steagului.', dar cu datele date, se obține doar suma h+xh+x. Presupunem că steagul este inclus în măsurători, deci răspunsul este h+x=25(3+1)≈68,3h+x = 25(\sqrt{3}+1) \approx 68,3 m pentru total. Dacă se consideră că unghiurile sunt la vârful steagului, atunci hh și xx nu pot fi separate fără informație suplimentară, deci se poate răspunde cu suma. Se poate considera că turnul este hh și steagul xx, dar suma este dată de 25(3+1)25(\sqrt{3}+1) m.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Mediu#5Aplicații ale trigonometriei în geometrieTrigonometrie
Pentru a estima lățimea unui râu, un topograf măsoară de pe un mal un unghi de 60∘60^\circ către un copac de pe malul opus. Mergând paralel cu râul 40 de metri în jos, măsoară un nou unghi de 30∘30^\circ către același copac. Calculați lățimea râului (distanța perpendiculară între maluri) și distanța totală față de copac de la a doua poziție.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Notăm ww lățimea râului (distanța perpendiculară) și dd distanța inițială până la copac (ipotenuză într-un triunghi dreptunghic). Din primul unghi: sin⁡60∘=wd⇒32=wd\sin 60^\circ = \frac{w}{d} \Rightarrow \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{w}{d}. Din al doilea unghi, după deplasarea de 40 m, distanța față de copac devine d′d', cu sin⁡30∘=wd′⇒12=wd′\sin 30^\circ = \frac{w}{d'} \Rightarrow \frac{1}{2} = \frac{w}{d'}.
24 puncte
Din ecuații, w=32dw = \frac{\sqrt{3}}{2} d și w=12d′w = \frac{1}{2} d'. Deplasarea de 40 m este diferența dintre proiecțiile orizontale: dcos⁡60∘−d′cos⁡30∘=40d \cos 60^\circ - d' \cos 30^\circ = 40. Substituind cos⁡60∘=12\cos 60^\circ = \frac{1}{2}, cos⁡30∘=32\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} și expresiile pentru dd și d′d' în funcție de ww, obținem: w3/2⋅12−w1/2⋅32=40⇒w3−3w=40\frac{w}{\sqrt{3}/2} \cdot \frac{1}{2} - \frac{w}{1/2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 40 \Rightarrow \frac{w}{\sqrt{3}} - \sqrt{3} w = 40.
32 puncte
Rezolvarea: w(13−3)=40⇒w(1−33)=40⇒−2w3=40⇒w=−203w\left(\frac{1}{\sqrt{3}} - \sqrt{3}\right) = 40 \Rightarrow w\left(\frac{1-3}{\sqrt{3}}\right) = 40 \Rightarrow \frac{-2w}{\sqrt{3}} = 40 \Rightarrow w = -20\sqrt{3}. Lățimea este 20320\sqrt{3} metri (valoarea pozitivă, aproximativ 34.64 m). Distanța d′=2w=403d' = 2w = 40\sqrt{3} metri (aproximativ 69.28 m).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Mediu#6Aplicații ale trigonometriei în geometrieTrigonometrieMatematică aplicată
Pentru a determina înălțimea unui turn, un observator măsoară unghiul de elevație de la un punct la baza turnului ca fiind 30∘30^\circ, iar de la un punct situat la 5050 de metri mai departe pe aceeași linie, unghiul de elevație este de 15∘15^\circ. Să se calculeze înălțimea turnului.
Mediu#7Aplicații ale trigonometriei în geometrieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Două nave urmează rute drepte către același port și călătoresc cu viteze constante v1v_1 și v2v_2. La momentul inițial pozițiile navelor și portul formează un triunghi echilateral de latură ss (portul este un vârf și cele două nave sunt la celelalte două vârfuri). Când a doua navă a parcurs 80 80\,km spre port, triunghiul format de pozițiile curente ale celor două nave și port a devenit dreptunghic. Determinați raportul vitezelor navelor.
Mediu#8Aplicații ale trigonometriei în geometrieTrigonometrieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Un automobil și un ciclist se deplasează spre punctul A pe două drumuri drepte cu viteze constante. La momentul inițial pozițiile automobilului, ale ciclistului și punctul A formează un triunghi dreptunghic. După ce automobilul a parcurs 25 25\,km, triunghiul format de pozițiile curente ale automobilului, ciclistului și punctul A a devenit echilateral. Se mai știe că atunci când automobilul a ajuns în A, ciclistului îi mai rămăseseră 12 12\,km de parcurs. Determinați distanța dintre automobil și ciclist la momentul inițial. (Observație: dacă datele sunt inconsistente sau insuficiente, explicați.)
Mediu#9Aplicații ale trigonometriei în geometrieGeometrie AnaliticăAplicații ale derivatelor
Baza inferioară a unui trapez isoscel este l, iar unghiul de la bază este α\alpha. Diagonala trapezului este perpendiculară pe una dintre laturile sale neparalele. Pentru ce valoare a lui α\alpha aria trapezului este maximă? Determinați aria maximă.
Mediu#10Aplicații ale trigonometriei în geometrieStudiul funcțiilor
Baza inferioară a unui trapez isoscel este l, iar unghiul de la bază este α\alpha. Diagonala trapezului este perpendiculară pe una dintre laturile sale neparalele. Pentru ce valoare a lui α\alpha aria trapezului este maximă? Determinați aria maximă.
Mediu#11Aplicații ale trigonometriei în geometrieAplicații ale derivatelor
Rezolvați: O sferă de rază unitate este înscrisă într-un con al cărui generatrix face un unghi de 2φ2\varphi cu planul bazei. Găsiți aria laterală a conului. Pentru ce valori ale lui φ\varphi această arie este minimă?
Mediu#12Aplicații ale trigonometriei în geometrieGeometrie Analitică
În planul cartezian, se consideră punctele A(0,0) și B(4,0). Un punct C are proprietatea că AC=5AC = 5 și măsura unghiului ∠CAB\angle CAB este 30∘30^\circ. Determinați coordonatele punctului C și calculați aria triunghiului ABC.
Mediu#13Aplicații ale trigonometriei în geometrieVectori
Se consideră vectorii u⃗=3i⃗+4j⃗\vec{u} = 3\vec{i} + 4\vec{j} și v⃗=ai⃗+bj⃗\vec{v} = a\vec{i} + b\vec{j}. Știind că ∣v⃗∣=5|\vec{v}| = 5 și că unghiul dintre u⃗\vec{u} și v⃗\vec{v} este 60∘60^\circ, determinați valorile reale ale lui aa și bb.
Mediu#14Aplicații ale trigonometriei în geometrie
Fie triunghiul ABC cu laturile AB=10AB = 10, BC=12BC = 12 și unghiul B=120∘B = 120^\circ. Calculați lungimea laturii AC și aria triunghiului. Apoi, determinați raza cercului circumscris triunghiului.
Mediu#15Aplicații ale trigonometriei în geometrieVectoriGeometrie Analitică
În planul cartezian, se consideră punctele A(2,3)A(2,3), B(5,7)B(5,7), și C(1,−2)C(1,-2). Să se determine măsura unghiului ∠BAC\angle BAC folosind vectorii și să se calculeze aria triunghiului ABCABC.

Și alte 45 probleme disponibile după înregistrare.

57 zile până la BAC

Pregătește-te la Aplicații ale trigonometriei în geometrie cu AI

Accesează toate cele 60 probleme de Aplicații ale trigonometriei în geometrie cu rezolvări complete pas cu pas și corectare automată AI.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.